[論文レビュー] Fixed point theory and semidefinite programming for computable performance analysis of block-sparsity recovery

Gongguo Tang, Arye Nehorai|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、固定点理論と半定値計画法の枠組みを導入し、ブロックスパース信号復元の計算可能な性能バウンドを計算する手法を提案する。感応行列の良さを示す指標を定義し、再構成誤差をバウンドする。ランダム行列において十分な測定回数が与えられた場合、その非退化性を証明し、効率的な計算が可能なグローバルに収束するアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we employ fixed point theory and semidefinite programming to compute the performance bounds on convex block-sparsity recovery algorithms. As a prerequisite for optimal sensing matrix design, a computable performance bound would open doors for wide applications in sensor arrays, radar, DNA microarrays, and many other areas where block-sparsity arises naturally. We define a family of goodness measures for arbitrary sensing matrices as the optimal values of certain optimization problems. The reconstruction errors of convex recovery algorithms are bounded in terms of these goodness measures. We demonstrate that as long as the number of measurements is relatively large, these goodness measures are bounded away from zero for a large class of random sensing matrices, a result parallel to the probabilistic analysis of the block restricted isometry property. As the primary contribution of this work, we associate the goodness measures with the fixed points of functions defined by a series of semidefinite programs. This relation with fixed point theory yields efficient algorithms with global convergence guarantees to compute the goodness measures.

研究の動機と目的

• 非ランダムな感応行列におけるブロックスパース復元の計算可能な性能解析の欠如に取り組み、感応システムの実用的設計および事前解析を制限する要因を克服する。
• 任意の感応行列に対してブロック制限等長性（RIP）を検証することが計算的に困難であるという問題を克服する。
• 凸ブロックスパース性アルゴリズムにおける復元誤差のブロック-$\ell_\infty$ノルムをバウンドする、計算可能な良さの指標の族を開発する。
• レーダー、センサーアレイ、DNAマイクロアレイなどの応用分野における性能予測および最適な感応行列設計を可能にする。
• 任意の与えられた感応行列について、これらの良さ指標の下界を計算するグローバルに収束するアルゴリズムを提供する。

提案手法

• 半定値計画法を含む構造化された最適化問題の最適値として、良さの指標の族を定義する。
• これらの指標の計算を、各ステップで半定値計画問題を解く固定点反復フレームワークとして定式化する。
• 凹性および連続性の性質を活用して、任意の初期点から最適値へグローバルに収束することを証明する。
• 半定値計画法によって定義される関数の固定点と、良さ指標の下界との間に関係を確立する。
• 固定点フレームワークを用いて、ブロック-$\ell_1$最小化による正確なブロックスパース復元の十分条件を検証する。
• 測定回数が相対的に多い場合のサブガウスおよび等方的ランダム感応行列における良さ指標の非退化性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非ランダムな感応行列に適用可能な、ブロックスパース信号復元の計算可能な性能バウンドを定義できるか？
• RQ2 固定点理論と半定値計画法をどのように組み合わせて、グローバル収束保証のもとでこれらの性能バウンドを効率的に計算できるか？
• RQ3 測定回数が相対的に多いランダム感応行列における良さ指標の挙動はいかなるものか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、凸最適化を用いた正確なブロックスパース復元の十分条件を検証できるか？
• RQ5 既存のブロックRIPに基づく誤差バウンドと比較して、提案されたバウンドはどの程度きついのか？

主な発見

• 提案された良さ指標は、凸ブロックスパース性アルゴリズムにおける復元誤差のブロック-$\ell_\infty$ノルムの計算可能な上界を提供する。
• 固定点反復フレームワークは、各ステップが半定値計画問題を含む形で、最適値へグローバルに収束する。
• サブガウスおよび等方的ランダム感応行列において、測定回数が相対的に多い場合には良さ指標がゼロから離れていることが保証され、非退化した性能が得られる。
• このフレームワークにより、ブロック-$\ell_1$最小化による正確なブロックスパース復元の十分条件の効率的検証が可能になる。
• 数値結果から、提案されたバウンドがブロック制限等長性に基づく既存のバウンドよりもきついことが示唆される。
• 固定点反復が一意の正の固定点を持つことが証明され、初期値に依存せずグローバル最適値への収束が保証される。