[論文レビュー] Fixed points and chaotic dynamics for expansive-contractive maps in Euclidean spaces, with some applications

Marina Pireddu|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 117被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間上の拡張的・収縮的写像における不動点や周期的点、および正のトポロジカルエントロピー、稠密な周期軌道を含むカオス的ダイナミクスの存在を示すために、'経路に沿った伸張'手法を導入する。この手法は、位相的および次数論的道具を用いて、離散的および連続的システム、特に経済モデルや周期的係数をもつ常微分方程式において複雑なダイナミクスを検出する。

ABSTRACT

In this work we introduce a topological method for the search of fixed points and periodic points for continuous maps defined on generalized rectangles in finite dimensional Euclidean spaces. We name our technique "Stretching Along the Paths" method, since we deal with maps that expand the arcs along one direction. Our technique is also significant from a dynamical point of view, as it allows to detect complex dynamics. In particular, we are able to prove semi-conjugacy to the Bernoulli shift and thus positivity of the topological entropy, the presence of topological transitivity and sensitivity with respect to initial conditions, density of periodic points. Moreover, our approach, although mathematically rigorous, avoids the use of sophisticated topological theories and it is relatively easy to apply to specific models arising in the applications. For example we have here employed the Stretching along the paths method to study discrete and continuous-time models arising from economics and biology.

研究の動機と目的

• 一般化された長方形領域におけるユークリッド空間上の連続写像に対して、不動点および周期的点を検出するための位相的手法の開発。
• 拡張的・収縮的写像が正のトポロジカルエントロピーおよび初期条件への感受性を示すような条件の確立。
• 本手法を離散的および連続的力学系、特に経済モデルおよび周期的係数をもつ非線形常微分方程式に応用すること。
• 複雑なダイナミクスを証明するための、ConleyインデックスやLefschetz数といった高度な道具に代わる、初等的な代替手法の提供。
• 区分的定数またはほぼ区分的定数の時間依存係数をもつ系、例えば修正された捕食者・被捕食者モデルやサスペンションブリッジモデルへの本手法の適用可能性の検証。

提案手法

• '経路に沿った伸張'手法は、ある方向に弧を拡張し、他の方向に収縮させる写像を特定し、画像の伸張に関する位相的制約を用いる。
• 本手法は、写像が境界を横切る経路を伸張する矩形領域の存在に依存しており、画像の横断的性質と経路の交差を保証する。
• 高次元では、次数論および「カット面」の概念を組み合わせることで、平面上の結果をN次元空間に一般化する。
• 周期的係数をもつ常微分方程式に対しては、Poincaré写像に本手法を適用し、連続的な問題を離散的力学系に還元する。
• 補助的システム（例：$E_q$ および $E_s$）の等高線を用いて矩形領域を定義し、境界を越える軌道の挙動を分析する。
• 経路の像が境界の指定された部分を複数回交差することを保証することで、ベルヌーイシフトへの半同型性の条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された長方形領域における $\mathbb{R}^N$ 上の連続写像が、位相的伸張によって不動点または周期的点をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 '経路に沿った伸張'手法は、正のトポロジカルエントロピーおよび稠密な周期的点を含むカオス的ダイナミクスをどのように検出できるか？
• RQ3 本手法を用いて、周期的係数をもつどのような非線形常微分方程式がカオス的挙動を示すと証明できるか？
• RQ4 本手法は、ConleyインデックスやMelnikov法といったより高度な道具と比べて、どのような点で代替可能となるか？
• RQ5 本手法は、区分的定数ではないがゆっくり変化する時間依存係数をもつ系へ拡張可能か？

主な発見

• 本手法はベルヌーイシフトへの半同型性を確立し、系に正のトポロジカルエントロピーおよび位相的トランスティビティが存在することを示唆する。
• 伸張条件を満たす場合、稠密な周期的点の存在が確認され、Devaneyカオスの主要基準を満たす。
• Poincaré写像の分析を通じて、周期的採取を含む修正されたボルタ・捕食者・被捕食者モデルにおいて、カオス的ダイナミクスが検出された。
• Lazer-McKennaのサスペンションブリッジモデルでは、二つの力学系の切り替えを通じて、周期的およびカオス的解の存在が証明された。
• 連結ねじれ写像や区分的定数係数をもつ系に対しても本手法が適用可能であり、複雑なダイナミクスの検出において高い頑健性を示した。
• 本手法は、特にN次元設定において、ConleyインデックスやLefschetz数に依存する手法に代わる、厳密かつ初等的な代替手段を提供する。