[論文レビュー] Fixed points and completeness in metric and in generalized metric spaces

Ştefan Cobzaş|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2015

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 132被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、不動点定理と距離空間の完備性の論理的関係を調査し、特にエケランドの変分原理とカリスティの定理といった特定の不動点結果が、距離空間、準距離空間、部分距離空間において完備性を示すことを示している。多くの一般化された距離構造において、特定の型の写像（例：収縮写像、弱収縮写像）の不動点の存在は、その背後にある空間の完備性と同値であることが確立されている。

ABSTRACT

The famous Banach Contraction Principle holds in complete metric spaces, but completeness is not a necessary condition -- there are incomplete metric spaces on which every contraction has a fixed point. The aim of this paper is to present various circumstances in which fixed point results imply completeness. For metric spaces this is the case of Ekeland variational principle and of its equivalent - Caristi fixed point theorem. Other fixed point results having this property will be also presented in metric spaces, in quasi-metric spaces and in partial metric spaces. A discussion on topology and order and on fixed points in ordered structures and their completeness properties is included as well.

研究の動機と目的

• 不動点定理が距離空間の完備性を示す条件を特定すること。これは、完備性が単なる十分条件であるが、必要条件ではないという仮定に挑戦することを目的とする。
• 標準的な距離空間にとどまらず、準距離空間や部分距離空間といった一般化された構造へ、不動点性質と完備性の同値性を拡張すること。
• 順序構造と距離空間におけるトポロジー、順序、不動点性質の相互作用を分析すること。
• 不動点の存在が完備性を強制することを示す逆結果（逆の不動点定理）を提供すること。これにより、不動点挙動によって完備性を特徴づける。
• 多様な一般化された距離フレームワークにおいて、変分原理および不動点定理を通じた完備性に関する既存の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 固定点の存在から完備性を導出するための中心的道具として、エケランドの変分原理とカリスティの不動点定理の等価性を用いる。
• w-距離とτ-距離の概念を応用し、距離空間および準距離空間における不動点結果の一般化と完備性の分析を行う。
• ブラニャリの公理を用いて一般化された距離空間を導入・分析し、4つの異なる点に対して成り立つ一般化された三角不等式（GM3）を含む。
• 部分距離空間を準距離空間の特別な場合として扱い、そのトポロジー、順序構造、および完備性の性質に焦点を当てる。
• 非対称な距離設定における完備性を探索するために、タタール距離と非拡大写像の強い連続的半群を用いる。
• 特化順序や区間位相といった順序論的道具を用い、不動点結果と順序構造における完備性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収縮写像の不動点の存在が、その背後にある距離空間が完備であることを示す条件は何か？
• RQ2 エケランドの原理のような変分原理は、一般化された距離空間における完備性をどの程度特徴づけることができるか？
• RQ3 準距離空間または部分距離空間における完備性は、弱収縮写像や集合値写像に対する不動点定理によって同値に特徴づけられるか？
• RQ4 順序論的性質（例：有向完備性、順序収束）は、順序付き距離空間における不動点の存在と完備性とどのように関係するか？
• RQ5 w-距離とτ-距離は、完備性を示す逆不動点定理を確立する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 距離空間が完備であるための必要十分条件は、w-距離に関して弱収縮的写像が不動点を持つことである。
• エケランドの変分原理とカリスティの不動点定理は、完備距離空間において完備性と同値であり、逆にそれらの有効性が完備性を示唆する。
• 準距離空間において、w-距離を介した特定の収縮写像の不動点の存在は、非対称設定におけるより強い形の完備性（Smyth完備性）を示す。
• 部分距離空間において、カリスティの定理が成り立つのは、空間が完備である場合に限る。これにより、不動点の存在と完備性の間にきわめて緊密な同値関係が確立される。
• タタール距離は、非拡大写像の強い連続的半群から導かれるが、必ずしもτ-距離ではない。その性質は、完備性の特徴づけに役立つ。
• ボーヴァインの結果を一般化：ノルム空間の凸部分集合は、その上でのすべての収縮写像が不動点を持つことと同値に完備である。