[論文レビュー] Fixed points of discrete nilpotent group actions on S^2

S. Druck, Fuquan Fang+1 more|ArXiv.org|Sep 3, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$S^2$ 上の離散的ネルム群作用が、恒等写像に十分近い $C^1$ 微分同相写像 $f_1, \dots, f_n$ によって生成される場合（群のネルム長 $k$ に依存する近傍 $ ildes{ cal{V}}_k$ 内）、固定点をもつことを確立している。さらに、そのような作用が非自明な有限軌道を持つ場合、固定点は少なくとも2つ以上存在する。これは、ボナティの可換微分同相写像に対する固定点定理を高次のネルム群へ拡張するものである。

ABSTRACT

We prove that for each integer k of at least 2, there is an open neigborhood ν_k of the identity map of the 2-sphere S^2, in C^1-topology such that: if G is a nilpotent subgroup of Diff^1(S^2) with length k of nilpotency, generated by elements in ν_k, then the natural action on S^2 has non-empty fixed point set. Moreover, the G-action has at least two fixed points if the action has a finite non-trivial orbit.

研究の動機と目的

• S² 上の可換 $C^1$ 微分同相写像に対するボナティの固定点定理を、離散的ネルム群作用へ拡張すること。
• 恒等写像の $C^1$-近傍内に生成される $k$-ネルム部分群の固定点の存在を確立すること。
• そのような作用において非自明な有限軌道が存在する場合、固定点が少なくとも2つ以上存在することを証明すること。
• 連結ネルムリー群作用に関するプリャンテの結果を、S² 上の離散的ネルム群作用へ一般化すること。

提案手法

• 恒等写像の $C^1$-開近傍の減少列 $\mathcal{V}_k$ を、生成元の数とは無関係に $\mathrm{Diff}^1(S^2)$ 内に構成する。
• ネルム長 $k$ についての帰納法を用い、下部中心列を介して、問題を低次のネルム部分群へ還元する。
• 主補題を用いて、$Fix(G_{(1)}, f_1, \dots, f_n)$ が空でなく、$f_{n+1}$ がそれらに作用するならば、$Fix(G_{(1)}, f_1, \dots, f_{n+1})$ も空でないことを示す。
• 微分同相写像に関連する $\omega$-再帰点と特徴曲線を用い、これらの曲線で囲まれた円板内に固定点を特定する。
• 固定点集合の $f$-不変性と補題 4.4 を活用し、入れ子になった円板内に逐次固定点を構成する。
• 閉じた固定点集合の有限交差性を用いて、有限生成から無限生成への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 恒等写像に $C^1$-近い元によって生成される $k$-ネルム部分群 $G \subset \mathrm{Diff}^1(S^2)$ は、固定点をもつか？
• RQ2 そのような作用が非自明な有限軌道を持つ場合、固定点は少なくとも2つ以上存在する必要があるか？
• RQ3 可換微分同相写像に対するボナティの結果を、S² 上の高次のネルム群へ一般化できるか？
• RQ4 ネルム群作用の中心に属する元 $h$ が $2 \leq \#\mathrm{Fix}(h) < \infty$ 個の固定点を持つ場合、全群作用は複数の固定点を持つと結論づけられるか？
• RQ5 連結ネルムリー群作用に関するプリャンテの定理を、S² 上の離散的ネルム群作用へ拡張できるか？

主な発見

• 各 $k \geq 2$ に対して、恒等写像の $C^1$-近傍 $\mathcal{V}_k$ が存在し、$\mathcal{V}_k$ 内の元によって生成される任意の $k$-ネルム部分群 $G \subset \mathrm{Diff}^1(S^2)$ は、空でない固定点集合をもつ。
• 群 $G$ の作用が非自明な有限軌道を持つ場合、固定点集合には少なくとも2つの点が存在する。
• 生成元が $\mathcal{V}_k$ 内にある限り、$k$-ネルム群作用の固定点集合は、生成元の数に関係なく空でない。
• 群 $G$ の中心に属する元 $h$ が $2 \leq \#\mathrm{Fix}(h) < \infty$ 個の固定点を持つ場合、全群作用 $G$ の固定点集合には少なくとも2つの点が存在する。
• 結果は、$S^2 \to \mathbb{RP}^2$ の普遍被覆を介して $\mathbb{RP}^2$ へもそのまま適用可能であり、固定点に関する結論が保たれる。
• 定理は foliation 理論へ応用され、S² や $\mathbb{RP}^2$ 上の自明なファイブレーションの $C^1$-小変形は、ファイバーの近傍にコンパクトな葉をもつ必要があることが示された。