[論文レビュー] Fixed points of Legendre-Fenchel type transforms

Alfredo N. Iusem, Daniel Reem+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、実ヒルバート空間におけるレジェンドル＝フェンヒェル型変換を含む不動点方程式を調査し、$ f(x) = \tau f^*(Ex + c) + \langle w,x\rangle + \beta $ の解を特徴づける。解の集合はパラメータに極めて敏感であり、解なし、一意解、無限に多くの解が存在する可能性を含み、二次型および非二次型の両方の形をとる。

ABSTRACT

A recent result characterizes the fully order reversing operators acting on the class of lower semicontinuous proper convex functions in a real Banach space as certain linear deformations of the Legendre-Fenchel transform. Motivated by the Hilbert space version of this result and by the well-known result saying that this convex conjugation transform has a unique fixed point (namely, the normalized energy function), we investigate the fixed point equation in which the involved operator is fully order reversing and acts on the above-mentioned class of functions. It turns out that this nonlinear equation is very sensitive to the involved parameters and can have no solution, a unique solution, or several (possibly infinitely many) ones. Our analysis yields a few by-products, such as results related to positive definite operators, and to functional equations and inclusions involving monotone operators.

研究の動機と目的

• 実ヒルバート空間における下半連続で適切な凸関数のクラスにおいて、不動点方程式 $ f(x) = \tau f^*(Ex + c) + \langle w,x\rangle + \beta $ の解を特徴づける。
• 標準的レジェンドル＝フェンヒェル変換の不動点としての正規化エネルギー関数の一意性が、より広いクラスの作用素に拡張可能であることを示す。
• 特に $ E $ が正定値でない場合に、パラメータ $ \tau, E, c, w, \beta $ を変化させたときの解の挙動を分析する。
• 完全レジェンドル関数および単調作用素論との関係を探索する。
• 方程式が一意解、複数解、または解なしをもつ条件を同定し、非二次型の解を含む。

提案手法

• ヒルバート空間における凸共役およびレジェンドル＝フェンヒェル双対性を用いた、不動点方程式の形式的解析。
• 完全順序反転作用素がレジェンドル＝フェンヒェル変換の線形変形として特徴づけられる事実の応用。
• 関数方程式および共役双対性を用いて、解の必要十分条件を導出する。
• 既知の完全レジェンドル関数に関する結果を活用し、微分可能な解に対して微分関数方程式を導出する。
• 直接和分解および共役公式を用いた明示的例の構成により、複数の解を生成する。
• 正定値作用素の構造的結果と、その強凸性および可逆性への影響を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不動点方程式 $ f(x) = \tau f^*(Ex + c) + \langle w,x\rangle + \beta $ が、下半連続で適切な凸関数のクラスに解を持つための条件は何か？
• RQ2 方程式が1つより多くの解を持つことは可能か？ もしそうなら、どのパラメータ設定下で成立するか？
• RQ3 $ E $ が正定値である場合に解が一意となるか？ これは、既知の正規化エネルギー関数の一意性を拡張するものか？
• RQ4 非二次型解の構造はどのようなものか？ また、それらを明示的に構成可能か？
• RQ5 $ f $ 及びその共役の微分可能性は、方程式の可解性とどのように関係するか？

主な発見

• 不動点方程式は、パラメータ $ \tau, E, c, w, \beta $ の値に応じて、解なし、一意解、無限に多くの解が存在する可能性を示す。
• $ E $ が正定値である場合、(3.1) に示される係数で定義される二次関数が解であるが、一意性は保証されない。
• 例13.1では無限に多くの二次解が存在することを示し、例13.2では非二次解が存在することを示している。
• 正規化エネルギー関数 $ f(x) = \frac{1}{2}\|x\|^2 $ は $ f = f^* $ の唯一の解であることが確認され、既知の結果がより広い文脈で裏付けられた。
• もし $ f $ が完全レジェンドル（すなわち、凸、下半連続であり、$ f $ 及び $ f^* $ がゲートオー微分可能）であるならば、微分関数方程式 (15.1) を満たすことが示され、微分可能性と可解性の関係が明確化される。
• もし $ f(x) = \frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle $ が $ f^*(Ax) = f(x) $ を満たすならば、可逆な正定値半正定値作用素 $ A $ は正定値でなければならない。これは、補題7.5および補題4.2により示された。