[論文レビュー] Fixed-Time Stable Proximal Dynamical System for Solving Mixed Variational Inequality Problems

Kunal Garg, Mayank Baranwal+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、初期条件にかかわらず一様に有界な時間内に混合変分不等式問題（MVIP）の解へ収束することを保証する固定時間安定なプロキシマル動的システムを提案する。強い単調性およびリプシッツ連続性の下で、解の存在と一意性、および有限時間収束が保証され、擬単調性および離散化安定性への拡張も行われる。

ABSTRACT

In this paper, a novel modified proximal dynamical system is proposed to compute the solution of a {mixed variational inequality problem} within a fixed time, where the time of convergence is finite, and is uniformly bounded for all initial conditions. Under the assumptions of strong monotonicity and Lipschitz continuity, it is shown that a solution of the modified proximal dynamical system exists, is uniquely determined and converges to the unique solution of the associated mixed variational inequality problem (MVIP) within a fixed time. As a special case for solving variational inequality problems, the modified proximal dynamical system reduces to a fixed-time stable projected dynamical system. Furthermore, the fixed-time stability of the modified projected dynamical system continues to hold, even if the assumptions of strong monotonicity are relaxed to that of strong pseudomonotonicity. Connections to convex optimization problems are discussed, and commonly studied dynamical systems in the continuous-time optimization literature are shown as special cases of the modified proximal dynamical system proposed in this paper. Finally, it is shown that the discretization of the proposed scheme converges to an arbitrarily small neighborhood of the solution of the associated MVIP within a fixed number of steps, independent of the initial conditions. Two numerical examples are presented, which give numerical evidence in support of the fixed-time convergent behavior of the proposed modified proximal dynamical system.

研究の動機と目的

• 混合変分不等式問題（MVIP）を固定時間収束する動的システムで解くこと。初期条件にかかわらず収束時間が一様に有界であることを保証する。
• 強い単調性が弱められた強擬単調性にまで拡張された状況でも、投影動的システムの固定時間安定性を維持すること。
• 既存の連続時間最適化動的システムを、提案された修正プロキシマルシステムの特別な場合として統一・一般化すること。
• 提案されたスキームの離散化が、初期化に依存せず固定回数のステップ内でMVIP解の任意に小さな近傍へ収束することを示すこと。

提案手法

• 固定時間収束を保証するために、時間依存の減衰項を備えた修正プロキシマル動的システムを提案する。
• 存在・一意性および有限時間収束の証明に、強い単調性およびリプシッツ連続性の仮定を用いる。
• 標準的な変分不等式問題の特別な場合において、修正プロキシマルシステムが固定時間安定な投影動的システムに還元されることを示す。
• 強い擬単調性の状況へも安定性結果を拡張し、より広範な問題クラスへの適用可能性を高める。
• 凸最適化との関係を分析し、代表的な連続時間最適化システム（例：投影勾配フロー）が提案フレームワークの特別な場合であることを示す。
• スキームの離散時間版を導出し、初期条件に依存せず固定回数のステップ内でMVIP解の任意に小さな近傍へ収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期条件にかかわらず、混合変分不等式問題の解へ固定時間で収束するプロキシマル動的システムを設計可能か？
• RQ2 強い単調性が弱められた強擬単調性にまで拡張された場合でも、投影動的システムの固定時間安定性は維持されるか？
• RQ3 既存の連続時間最適化動的システムは、提案された修正プロキシマルシステムとどのように関係しているか？
• RQ4 提案された連続時間スキームの離散化が、初期条件に依存せず固定回数のステップ内で収束可能か？
• RQ5 離散化下での収束時間および近傍精度の定量的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 強い単調性およびリプシッツ連続性の下で、提案された修正プロキシマル動的システムはMVIPの唯一の解へ有限時間収束を保証し、初期条件にかかわらず収束時間が一様に有界である。
• 標準的な変分不等式問題の特別な場合において、システムは固定時間安定な投影動的システムに還元され、同じ仮定下で固定時間収束を維持する。
• 強い単調性が弱められた強擬単調性にまで拡張された場合でも、固定時間安定性が保持され、より広範な問題クラスへの適用可能性が向上する。
• 提案スキームの離散化は、初期条件に依存せず固定回数のステップ内でMVIP解の任意に小さな近傍へ収束する。
• 数値例により、システムの固定時間収束挙動が確認され、理論的主張に対する実証的裏付けが得られた。
• 代表的な連続時間最適化システム（例：投影勾配フロー）が、提案された修正プロキシマル動的システムの特別な場合であることが示された。