[論文レビュー] FKWC-bases and geometrical identities for classical and quantum field theories in curved spacetime

Yves Décanini, Antoine Folacci|ArXiv.org|May 12, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、曲がった時空におけるリーマン多項式のためのFKWCベースの修正版と、次元に依存しない包括的な幾何学的恒等式を提示する。これらのツールにより、群論的ベースと対称性に基づく簡略化を用いて、複雑なリーマン多項式の式を帰約可能な形に体系的に削減できるようになり、特に重力波の放射反動と正則化・量子場理論の再規格化手順において計算が簡素化される。

ABSTRACT

Fulling, King, Wybourne and Cummings (FKWC) have proposed to expand systematically the Riemann polynomials encountered in the context of field theories in curved spacetime on standard bases constructed from group theoretical considerations. They have also displayed such bases for scalar Riemann polynomials of order eight or less in the derivatives of the metric tensor and for tensorial Riemann polynomials of order six or less. Here we provide a slightly modified version of the FKWC-bases as well as an important list of geometrical relations we have used in recent works. These relations are independent of the dimension of spacetime. In our opinion, they are helpful to achieve quickly and easily, by hand, very tedious calculations as well as, of course, to provide irreducible expressions for all the results obtained. They could be very helpful to people working in gravitational physics and more particularly (i) to treat some aspects of the classical theory of gravitational waves such as the radiation reaction problem and (ii) to deal with regularization and renormalization of quantum field theories, of stochastic semiclassical gravity and of higher-order theories of gravity.

研究の動機と目的

• 曲がった時空上の場理論におけるリーマン多項式の表現の非一意性と複雑さに対処すること。
• 計量テンソルの高次微分とリーマンテンソルの縮約を含む煩わしい計算を簡略化すること。
• 古典的および量子場理論における帰約可能な表現を、実用的で手作業で計算可能な枠組みとして提供すること。
• 重力波物理学、正則化、曲がった背景における量子場理論の再規格化への応用を支援すること。
• FKWCベースの構成を改良し、関連する恒等式を整理することで、重力物理学の研究者にとってよりアクセス可能で効率的なものとすること。

提案手法

• 計量微分の次数が6以下のスカラーおよびテンソル用リーマン多項式に対して、FKWCベースを採用し、わずかに修正する。
• 群論的構成を用いて、ランク0から6まで、次数が6以下のリーマン多項式の標準ベースを定義する。
• リーマンテンソルの対称性、共変微分の交換関係、Bianchi恒等式から導かれる基本的な幾何学的恒等式を適用する。
• 曲率テンソルの表記にHawking-Ellisの慣習を採用し、リーマン多項式空間 ${\cal R}^{r}_{s,q}$ に対して一貫した表記を用いる。
• 特に $ R^{p\dots}_{\dots} R^{\dots}_{\dots} $ の縮約や反対称性に基づく簡略化といった恒等式を用いて単項式の簡略化に注力する。
• 2ループ以上での場理論計算に必要なヴァン・ヴレック＝モレット行列式の共変テイラー展開に対応する、ランク6のベースにおいて8つの主要な基底要素のみを選択する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった時空におけるリーマン多項式の表現を、非一意性を回避するための帰約可能な形に体系的に簡略化する方法は何か？
• RQ2 高次リーマン多項式の縮約を、手作業で効率的に行うために必要な幾何学的恒等式の集合は何か？
• RQ3 曲がった時空上の量子場理論における1ループおよび2ループ計算に、どのリーマン多項式の基底要素が不可欠か？
• RQ4 FKWCベースをどのように修正すれば、テンソル計算における共変微分と縮約のステップを高速化できるか？
• RQ5 これらの恒等式と基底は、重力波理論における放射反動と半古典的重力における再規格化の取り扱いを、どのような点で簡素化するか？

主な発見

• リーマン多項式の縮約における手作業による高速計算を最適化した、FKWCベースの修正版が提供された。
• 次数6までの一意的で次元に依存しない55個の幾何学的恒等式のリストが整備され、余分な単項式の体系的除去が可能になった。
• ランク6のリーマン多項式において、2ループおよび1ループの場理論計算には、ヴァン・ヴレック＝モレット行列式の共変テイラー展開に対応する8つの特定の基底要素のみが必要である。
• 恒等式 $ R^{p\dots}_{\dots} R^{\dots}_{\dots} $ の簡略化、例えば $ R^{p\dots}_{\dots} R^{\dots}_{\dots} = \dots - \frac{1}{2} R^{p\dots}_{\dots} R^{\dots}_{\dots} $ が明示的に導出され、冗長性の低減に用いられた。
• 反対称性により消える余分な項（例：$ R^{p\dots}_{\dots} R_{pqcd;e} $）を修正されたベースから省いたことで、計算の効率が向上した。
• これらの恒等式と基底は、ストレスエネルギー張子の再規格化および半古典的重力に関する先行研究への応用を通じて、妥当性が検証された。