[論文レビュー] Flag manifolds, symmetric $\fr{t}$-triples and Einstein metrics

Ioannis Chrysikos|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、第二ベッチ数 $b_2(G/K)=1$ を持つ一般化フラッグ多様体 $G/K$ およびフルフラッグ多様体上で、和がゼロとなる $\t$-根の三つ組、すなわち対称 $\t$-三つ組を導入し、その幾何的構造定数 $c_{ij}^k$ との対応関係を確立する。著者らは $G = \text{SO}(7)$ に対して $\t$-根および対称 $\t$-三つ組を分類し、五つの等化和成分をもつフラッグ多様体における同次的アインシュタイン方程式を解き、$\text{SO}(7)$-不変なアインシュタイン計量がちょうど三つで、そのうち二つはケーラー–アインシュタインで、残り一つは非ケーラーであることを証明した。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact connected simple Lie group and let $M=G^{\bb{C}}/P=G/K$ be a generalized flag manifold. In this article we focus on an important invariant of $G/K$, the so called $\fr{t}$-root system $R_{\fr{t}}$, and we introduce the notion of symmetric $\fr{t}$-triples, that is triples of $\fr{t}$-roots $ξ, ζ, η\in R_{\fr{t}}$ such that $ξ+η+ζ=0$. We describe their properties and we present an interesting application on the structure constants of $G/K$, quantities which are straightforward related to the construction of the homogeneous Einstein metric on $G/K$. Next we classify symmetric $\fr{t}$-triples for generalized flag manifolds $G/K$ with second Betti number $b_{2}(G/K)=1$, and we treat also the case of full flag manifolds $G/T$, where $T$ is a maximal torus of $G$. In the last section we construct the homogeneous Einstein equation on flag manifolds $G/K$ with five isotropy summands, determined by the simple Lie group $G=\SO(7)$. By solving the corresponding algebraic system we classify all $\SO(7)$-invariant (non-isometric) Einstein metrics, and these are the very first results towards the classification of homogeneous Einstein metrics on flag manifolds with five isotropy summands.

研究の動機と目的

• 一般化フラッグ多様体 $G/K$ 上での対称 $\t$-三つ組—和がゼロとなる $\t$-根の三つ組—を導入し、その性質を研究すること。
• 対称 $\t$-三つ組を、$G/K$ の等化表現の構造定数 $c_{ij}^k$ と関連づけ、幾何的性質を支配するものとする。
• $b_2 = 1$ を持つフラッグ多様体およびフルフラッグ多様体 $G/T$ に対して、対称 $\t$-三つ組を分類すること。
• $\text{SO}(7)$-フラッグ多様体で五つの等化和成分をもつ場合の同次的アインシュタイン方程式を解き、すべての非同相な $\text{SO}(7)$-不変アインシュタイン計量を分類すること。

提案手法

• $\t$-根を、複素化された $\fk^\bC$ の中心の実形式 $\t$ への補完的根の制限として定義し、$\t$-根系 $R_\t$ を構成する。
• 和がゼロとなる三つ組 $(\t, \t, \t) \to 0$ を $\t^*$ 上で対称 $\t$-三つ組と呼び、非ゼロの構造定数 $c_{ij}^k$ と一対一対応づける。
• $\text{SO}(7)$ のワイル群作用および根系の性質を用いて、等化和成分の対称性と等長変換を分析する。
• 五つの非自明な $\text{Ad}(K)$-不変部分空間をもつ $G/K$ に対して、同次的アインシュタイン方程式を構成し、正のパラメータ $x_1, \dots, x_5$ でパrameter化する。
• アインシュタイン条件から導かれる代数的方程式系を、構造定数 $c_{ij}^k$ を用いて解く。
• ワイル群の反射（例：$s_{\t_2 + 2\t_3}$）による等長基準を適用し、アインシュタイン計量の同値性を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称 $\t$-三つ組は、$G/K$ の等化表現の構造定数 $c_{ij}^k$ とどのように関係しているか？
• RQ2 $b_2(G/K) = 1$ を持つ一般化フラッグ多様体における対称 $\t$-三つ組の分類は何か？
• RQ3 五つの等化和成分をもつフラッグ多様体における $\text{SO}(7)$-不変アインシュタイン計量は何か？
• RQ4 これらのアインシュタイン計量の中で、同相であるものはどれで、非同相なものはいくつ存在するか？

主な発見

• 対称 $\t$-三つ組は、非ゼロの構造定数 $c_{ij}^k$ と一対一対応しており、代数的データと幾何的不変量を結びつける。
• $\text{SO}(7)/\text{U}(1)^2 \times \text{SU}(2)$ に対して、$\text{SO}(7)$-不変なアインシュタイン計量がちょうど三つで、非同相であることが特定された。
• そのうち二つはケーラー–アインシュタインであり、二つの非同値な複素構造から生じており、それぞれのペア内で同相である。
• 残りの一つの計量は非ケーラーであり、ケーラー–アインシュタイン計量とは同相ではなく、任意の $\text{SO}(7)$-不変複素構造とも整合しない。
• $\text{SO}(7)$-ワイル群の反射 $s_{\t_2 + 2\t_3}$ を用いて、計量 $(c)$ と $(d)$ が同相であることが示された。この反射は $\fm_1$ と $\fm_5$ を交換させつつ、$\fm_2, \fm_3, \fm_4$ を不変に保つ。
• 分類の結果、$M = \text{SO}(7)/\text{U}(1)^2 \times \text{SU}(2)$ は、スケールを除き、ちょうど三つの非同相な $\text{SO}(7)$-不変アインシュタイン計量をもつことが確認された。