[論文レビュー] Flat dimension growth for C*-algebras

Andrew S. Toms|ArXiv.org|Oct 19, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、単位的AH C*-代数における次元ランク比（drr）と、単位的安定的に有限なC*-代数における比較半径（rc）という2つの新しい不変量を導入し、単純かつ核となるC*-代数における非-\mathcal{Z}-安定性を測定する。drrが順序付きK理論と関連していることを示し、drrの範囲が単純な代数によって完全に実現されること（非-\mathcal{Z}-安定な代数が非可算個存在することの証明）を示し、rcがdrrを一般化することを示し、drr = 2r を達成する代数ではrc ≥ r が成り立つことを示している。

ABSTRACT

We introduce two nonnegative real-valued invariants for unital and stably finite C*-algebras whose minimal instances coincide with the notion of classifiability via the Elliott invariant. The first of these is defined for AH algebras, and may be thought of as a generalisation of slow dimension growth. The second invariant is defined for any unital and stably finite algebra, and may be thought of as an abstract version of the first invariant. We establish connections between both invariants and ordered K-theory, and prove that the range of the first invariant is exhausted by simple unital AH algebras. Consequently, the class of simple, unital, and non-Z-stable AH algebras is uncountable.

研究の動機と目的

• 非-\mathcal{Z}-安定で単純かつ核となるC*-代数の間の構造的差異に敏感な不変量の欠如に対処すること。
• ブラックダールの「中程度の次元成長」に関する以前の予想を拡張し、AH代数における平坦次元成長の理論を構築すること。
• 単位的AH代数における最小次元成長の尺度として、次元ランク比（drr）を定義し、研究すること。
• より広いクラスの単位的安定的に有限なC*-代数に対してdrrを一般化する比較半径（rc）を定義し、研究すること。
• rcとdrrが非-\mathcal{Z}-安定性を検出でき、順序付きK理論と関連していることを示すこと。

提案手法

• 単位的AH代数における平坦次元成長を、帰納的極限分解における dim(X_{i,l}) / rank(p_{i,l}) のlimsupを用いて定義する。
• 平坦次元成長におけるlimsupの下界をすべての分解についてとった最小値として、次元ランク比（drr）を定義し、最小次元成長を測定する。
• drr = 0 がかつてのみ代数が緩やかな次元成長を持つときであり、drr > 0 は非緩やかな成長を示すことを示す。
• 正の元のCuntz半群における比較に基づき、単位的安定的に有限なC*-代数の不変量として比較半径（rc）を定義する。
• 単純な単位的AH代数で実数階数が0で安定的スカラーが1である場合、rcがdrr/2に一致することを証明する。
• K理論的技法とK₀上の状態関数を用い、rcを射影の構造とCuntz半群における比較の性質に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AH代数に対して、緩やかな次元成長を超えて、平坦次元成長の意味のある理論を構築できるか？
• RQ2 次元ランク比（drr）は、単純な単位的AH代数における非-\mathcal{Z}-安定性を検出できる強固な不変量か？
• RQ3 比較半径（rc）はdrrを一般化し、安定的に有限なC*-代数における非-\mathcal{Z}-安定性の普遍的尺度として機能するか？
• RQ4 drrの範囲が、単純かつ核となる非-\mathcal{Z}-安定なC*-代数によって完全に実現可能か？ これにより、非可算個のこのような代数が存在することが示唆される。
• RQ5 すべての単位的AH代数に対して、rc(A) ≤ K·drr(A) を満たす普遍的な定数Kが存在するか？ これにより、rcがdrrの抽象的バージョンであることが確認される。

主な発見

• すべての単位的AH代数に対して、次元ランク比（drr）は適切に定義され、有限である。drr = 0 がかつてのみ代数が緩やかな次元成長を持つときである。
• 任意の r > 0 に対して、drr = 2r かつ rc ≥ r を満たす単純な単位的AH代数が存在する。これは、drrの範囲が単純な代数によって完全に実現されることを示している。
• drrの最小値は0であり、これは単純な単位的AH代数で実数階数が0で安定的スカラーが1である場合に、かつその場合にのみ達成される。
• 単純な単位的AH代数で実数階数が0で安定的スカラーが1である場合、比較半径（rc）はdrr/2に一致する。これはrcがdrrを一般化することを示している。
• drr = 2r を満たす代数ではrc ≥ r が成り立ち、rc ≤ K·drr となる普遍的なK > 0 が存在するかという予想が提示されており、これによりrcがdrrの自然な抽象化であることが確認される。
• 質問6.9（C(X)における正の元のランクと次元の境界に関するもの）に肯定的な答えが得られれば、A ≇ M_n(A) だが (V(A),[1_A]) ≅ (Q⁺,1) を満たす単純かつ核となるC*-代数Aの存在が示され、エリオットの分類予想に対する強い反例が得られる。