[論文レビュー] Flat nearly Kähler manifolds

Vicente Cortés, Lars Schaefer|ArXiv.org|Oct 5, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、不定計量を備えた平坦な厳密なほぼケーラー多様体を分類し、それらが局所的に平坦な擬ケーラー因子と、m ≥ 3 を満たす分裂符号型 (2m,2m) の厳密なほぼケーラー多様体の積に分解されることを示している。後者の幾何構造は、複素三形式 ζ ∈ Λ³(ℂᵐ)⁎ に符号化されており、最初の非自明な例は次元 12 で現れる。

ABSTRACT

We classify flat strict nearly Kähler manifolds with (necessarily) indefinite metric. Any such manifold is locally the product of a flat pseudo-Kähler factor of maximal dimension and a strict flat nearly Kähler manifold of split signature $(2m,2m)$ with $m\ge 3$. Moreover, the geometry of the second factor is encoded in a complex three-form $ζ\in Λ^3 (\mathbb{C}^m)^*$. The first nontrivial example occurs in dimension $4m=12$.

研究の動機と目的

• 平坦な厳密なほぼケーラー多様体に不定計量（擬リーマン計量）を備えたものを分類すること。
• 特に局所的分解とホロノミー性質を含めた、そのような多様体の幾何的構造を理解すること。
• 擬ケーラー因子を含まない完全かつ単連結な平坦なほぼケーラー多様体と、複素三形式に最大な補助を持つ GLₘ(ℂ)-軌道との間の対応を確立すること。
• 平坦性下での、歪対称ねじれを持つ標準接続がほぼケーラー条件に果たす役割を明確にすること。
• 定計量（正または負）を備えたような多様体が存在しないこと（ケーラーの場合を除く）を示すこと。

提案手法

• リーマン接続の平坦性を用いて、全ねじれが歪対称である T = -2η である標準的ヒルベルト接続 ∇ を構成する。ここで η = ½JDJ である。
• 実三形式 η ∈ Λ³V によるほぼケーラー構造の特徴づけ：補助が零空間であることと、タイプ条件を満たすこと。
• 三形式 η を η = ζ + ζ̄ の形に表現し、ζ ∈ Λ³(ℂᵐ)⁎ を複素三形式とすることで、(2m,2m) 策度因子の幾何を符号化する。
• η の零補助が、複素次元 m ≥ 3 の J_can-不変な複素部分空間 L ⊂ ℂᵐᵐ であることを証明する。
• 分解定理を適用し、任意の厳密な平坦なほぼケーラー多様体が、平坦な擬ケーラー因子と、厳密な (2m,2m) 策度因子の局所的積に分解可能であることを示す。
• GLₘ(ℂ)-軌道と、擬ケーラー de Rham 因子を含まない完全かつ単連結なほぼケーラー多様体の同型類との間の全単射対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定計量を備えた平坦な厳密なほぼケーラー多様体の局所的幾何的構造は何か？
• RQ2 どの実三形式 η ∈ Λ³V が平坦なほぼケーラー構造を生じさせ、どのような制約を満たすべきか？
• RQ3 擬ケーラー de Rham 因子を含まない完全かつ単連結な平坦なほぼケーラー多様体を、複素三形式 ζ ∈ Λ³(ℂᵐ)⁎ から構成可能か？
• RQ4 なぜこのような多様体は 4m ≥ 12 の次元でのみ存在し、定計量の例は除外されるのか？
• RQ5 GLₘ(ℂ)-軌道が Λ³(ℂᵐ)⁎ 上で、これらの多様体の同型型をどのように分類するのか？

主な発見

• 不定計量を備えた任意の平坦な厳密なほぼケーラー多様体は、最大次元の平坦な擬ケーラー多様体と、m ≥ 3 を満たす分裂符号型 (2m,2m) の厳密なほぼケーラー多様体の局所的同型な積に分解可能である。
• (2m,2m) 策度因子の幾何は、複素三形式 ζ ∈ Λ³(ℂᵐ)⁎ に符号化されており、η = ζ + ζ̄ が構造を決定づける。
• 厳密な平坦なほぼケーラー多様体の最初の非自明な例は次元 12 に現れ、これは m = 3 に相当する。
• 定計量（正または負）を備えた厳密な平坦なほぼケーラー多様体は存在せず、このような多様体は必ずケーラーでなければならない。
• 擬ケーラー de Rham 因子を含まない完全かつ単連結な平坦なほぼケーラー多様体が存在するための必要十分条件は、関連する三形式 ζ が最大補助を持つことである。
• このような多様体の同型類は、Λ³(ℂᵐ)⁎ の中で最大補助を持つ三形式からなる開部分集合上での GLₘ(ℂ)-軌道と、全単射対応する。