[論文レビュー] Flatness of invariant manifolds for stochastic partial differential equations driven by L\\'{e}vy processes

Stefan Tappe|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Lévy過程によって駆動される非線形確率偏微分方程式（SPDE）の不変多様体が、すべての局所接空間に含まれる最大の線形部分空間の次元として定義される最小の平坦性（flatness）を示している。この平坦性は、小さなジャンプを有する駆動Lévy過程の数に等しい。この結果は、このような過程に伴うボラティリティが多様体の接空間に属することを示すことから導かれる。これにより、HJMモデルにおけるアフィンフォリエーションに関する先行研究が、一般のSPDEにLévyノイズを含む場合に拡張される。

ABSTRACT

The purpose of this note is to prove that the flatness of an invariant manifold for a semilinear stochastic partial differential equation driven by L\\'{e}vy processes is at least equal to the number of driving sources with small jumps. We illustrate our findings by means of an example.

研究の動機と目的

• Lévy過程によって駆動されるSPDEの不変多様体における最小の平坦性（線形構造）を特定すること。
• HJMモデルにおけるアフィンフォリエーションに関する先行結果を、一般の非線形SPDEにLévyノイズを含む場合に一般化すること。
• 小さなジャンプを有するLévy過程の影響下での不変多様体の幾何的構造を特定すること。
• 小さなジャンプを持つ駆動源の数が、不変多様体の平坦性の下界を定めることを確立すること。

提案手法

• 多様体の平坦性を、各点におけるすべての局所接空間に含まれる最大次元の線形部分空間として定義する。
• SPDEのダイナミクスの下での多様体の不変性を用いて、小さなジャンプを有するLévy過程に関連するボラティリティが接空間に属することを示す。
• 文献[8]の結果を応用し、小さなジャンプを有する各Lévy過程に対して、対応するボラティリティ写像が多様体に線分を生成することを示し、接空間に属することを導く。
• 接空間の正規直交基底を用いて多様体の局所パラメータ表示を構築し、陰関数定理を適用して多様体を低次元の部分多様体と線形部分空間の積に分解する。
• 多様体の閉包性およびC3滑らかさを用いて、全域的に部分多様体と線形空間の直和への分解を保証する。
• 経路連結性と局所平坦性の一貫性を活用して、多様体全体にわたり平坦性次元が一様に一定であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy駆動SPDEの不変多様体が必ず有する最小の平坦性（線形構造）は何か？
• RQ2 駆動Lévy過程に小さなジャンプが存在する場合、不変多様体の幾何的構造にどのような影響を与えるか？
• RQ3 不変多様体の平坦性は、小さなジャンプを持つLévy過程の数によって下から抑えられるか？
• RQ4 不変多様体の接空間に、小さなジャンプLévy過程に関連するボラティリティベクトルが含まれる条件は何か？
• RQ5 不変多様体の平坦性次元は全域的に一定であり、かつ低次元の部分多様体と線形空間の積に分解可能か？

主な発見

• Lévy駆動SPDEの不変多様体の平坦性は、少なくとも駆動Lévy過程のうち小さなジャンプを持つものの数に等しい。
• 小さなジャンプを有する各Lévy過程に対して、対応するボラティリティベクトルは、多様体の任意の点における接空間に属する。
• すべての小さなジャンプLévy過程のボラティリティが張る線形部分空間は、多様体の任意の点における接空間に含まれる。
• 多様体は、低次元のCk部分多様体と、小さなジャンプ源の数に等しい次元の線形部分空間の直和として、全域的に分解可能である。
• 平坦性次元は多様体全体にわたり一様に一定であり、多様体は局所的に部分多様体と線形空間の積に微分同相である。
• 本結果は、HJMモデルで観察されたフォリエーション性質を、Lévy過程によって駆動されるより広範なSPDEのクラスに一般化する。