[論文レビュー] Flatness of Tensor Products and Semi-Rigidity for $C_2$-cofinite Vertex Operator Algebras II

Masahiko Miyamoto|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、$C_2$-cofiniteな conformal field theory (CFT) 型の頂点演算子代数（VOA）が、$V$ 上のトレース関数の$S$-変換に擬似トレース関数を含まず、トレース関数のみを含む場合、そのVOAは半剛性かつ有理的であることを確立している。主な結果は、この条件下で、すべての単純モジュールが半剛性であり、それらのトレース関数が$S$-変換に現れることを示しており、$C_2$-cofiniteなオルビフォルト VOA への応用が行われ、同様の条件下で有理的であることが証明されている。

ABSTRACT

Let V be a simple C_2-cofinite VOA of CFT-type and we assume that there is a simple module U such that \Hom_V(U\boxtimes V',V) ot=0 where V' is a restricted dual of V. As the author has shown, an S-transformation S(Ψ_V) of a trace function Ψ_V on V corresponding \begin{pmatrix}0&-1\cr 1&0\end{pmatrix} may contain pseudo-trace functions. Our assumption in this paper is that no pseudo-trace functions appear in S(Ψ_V). Under these assumptions, we prove that every V-module W is semirigid and Ψ_W appears in S(Ψ_V). As a corollary of our main theorem, a fixed point subVOA of a rational VOA of CFT-type by an automorphism of finite order becomes rational if fixed point subVOA is C_2-cofinite.

研究の動機と目的

• 非単純モジュールの構造を$C_2$-cofiniteなCFT型VOAにおいて調査すること。
• VOA $V$ 上のトレース関数の$S$-変換におけるトレース関数にのみ含まれ、擬似トレース関数を含まない条件を特定すること。
• このような条件下で、$C_2$-cofiniteなVOAの半剛性および有理的性を確立すること。
• オルビフォルト VOA の有理的性を保証する十分条件を、$S$-変換における擬似トレース関数の不在によって提示すること。

提案手法

• 仮説 I を仮定：任意の不可約$V$-モジュール$W$に対して、$\mathrm{Hom}_V(W\boxtimes\widetilde{W}, V) \neq 0$を満たす$\widetilde{W}$が存在する。
• 仮説 II を課す：$S$-変換$S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$は、擬似トレース関数を含まず、トレース関数の線形結合である。
• トレース関数$\Psi_V^{\mathrm{tr}}(v,\tau) = \mathrm{Tr}_V(o(v)q^{\tau(L(0)-c/24)})$の$S$-変換と、$SL_2(\mathbb{Z})$に属する$\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$による変換を用いる。
• C2-cofinite VOAにおける対数的相互作用演算子および畳み込み積の結合性の理論を適用する。
• 自己同型の作用を用いた、 twisted モジュールを用いたトレース関数の幾何的変形を構成する。
• 有理的で$C$-型のVOA $T$と有限自己同型$\tau$に対して、オルビフォルト VOA $T^\tau$ を適用し、$S(\Psi_{T^\tau}^{\mathrm{tr}})$が擬似トレース関数を含まないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、$C_2$-cofinite VOA 上のトレース関数の$S$-変換に、擬似トレース関数を含まず、トレース関数のみが含まれるか？
• RQ2 もし$S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$に擬似トレース関数が存在しない場合、そのVOAの半剛性および有理的性が保証されるか？
• RQ3 オルビフォルト VOA $T^\tau$ におけるトレース関数の$S$-変換に、擬似トレース関数が含まれないことを示せるか？
• RQ4 もし$S(\Psi_{T^\tau}^{\mathrm{tr}})$に擬似トレース関数が存在しない場合、$T^\tau$ の有理的性が保証されるか？
• RQ5 擬似トレース関数が存在しない場合、$T^\tau$ 上のトレース関数の$S$-変換に、すべての単純モジュールのトレース関数が含まれるか？

主な発見

• もし$S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$が、擬似トレース関数を含まず、トレース関数の線形結合であるならば、すべての単純$V$-モジュールは半剛性である。
• 単純モジュール$U$上のすべてのトレース関数$\Psi_U^{\mathrm{tr}}$は、$S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$に非ゼロの係数で現れる。
• 有理的でCFT型のVOA $T$ の$C_2$-cofiniteなオルビフォルトモデル$V = T^\tau$ に対して、$S(\Psi_V^{\mathrm{tr}})$は擬似トレース関数を含まない。
• その結果、このようなオルビフォルトモデル$V = T^\tau$ は有理的である。
• VOA $V = T^\tau$ 上のトレース関数の$S$-変換は、単純$V$-モジュール上のトレース関数の線形結合である。
• 主定理は、仮説 I および II の下で、$V$ が半剛性であり、すべての単純モジュールが非ゼロの重みで$S$-変換に寄与することを確立する。