[論文レビュー] Flatness of Tensor Products and Semi-Rigidity for $C_2$-cofinite Vertex Operator Algebras. II (Functional part)

Masahiko Miyamoto|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2009

Advanced Topics in Algebra被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、CFT型の単純で C_2-コアの有限な頂点 operator algebra (VOA) において、真空トレース関数の S 変換に擬似トレース関数が存在しない場合、すべてのモジュールが半剛性であり、それらの特性関数が真空特性関数の S 変換に現れることを確立する。主な系として、有限自己同型の固定点部分VOAが C_2-コアの有限であれば、それが有理的であることが示され、有理的性の結果が対称的構造へと拡張される。

ABSTRACT

Let V be a simple C_2-cofinite VOA of CFT-type and we assume that there is a simple module U such that \Hom_V(U\boxtimes V',V) ot=0 where V' is a restricted dual of V. As the author has shown, an S-transformation S(\Psi_V) of a trace function \Psi_V on V corresponding \begin{pmatrix}0&-1\cr 1&0\end{pmatrix} may contain pseudo-trace functions. Our assumption in this paper is that no pseudo-trace functions appear in S(\Psi_V). Under these assumptions, we prove that every V-module W is semirigid and \Psi_W appears in S(\Psi_V). As a corollary of our main theorem, a fixed point subVOA of a rational VOA of CFT-type by an automorphism of finite order becomes rational if fixed point subVOA is C_2-cofinite.

研究の動機と目的

• 真空特性関数の S 変換に擬似トレース関数が現れない場合の、C_2-コアの有限な CFT型 VOA におけるモジュール構造を調査すること。
• すべてのモジュールが半剛性であるための条件を確立し、強い有限性および剛性性を保証すること。
• 与えられた仮定のもとで、すべてのモジュールの特性関数が真空特性関数の S 変換に現れることを証明すること。
• 有限群作用における固定点部分VOAの有理的性の結果を拡張すること、ただし、それが C_2-コアの有限であることが条件である。

提案手法

• 真空トレース関数 Ψ_V の S 変換 S(Ψ_V) に擬似トレース関数が存在しないものと仮定する。
• 単純モジュール U に対して、非退化な双対構造を保証するため、Hom_V(U□V', V) ≠ 0 であることを用いる。
• 関数解析的技法を用いて、S 変換におけるトレース関数のモジュラー性を分析する。
• C_2-コアの有限性および CFT型の仮定に依拠し、有限次元表現論および良好に振る舞う特性関数を保証する。
• 与えられた制約のもとで、S 変換 S(Ψ_V) がすべてのモジュール特性関数 Ψ_W を含むことを確立する。
• モジュールの半剛性および S(Ψ_V) における特性関数の包含関係に依拠して、固定点部分VOAの有理的性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S 変換における真空特性関数に、標準的トレース関数のみが現れ、擬似トレース関数が存在しない条件は何か？
• RQ2 S(Ψ_V) に擬似トレース関数が存在しないことは、C_2-コアの有限な CFT型 VOA のモジュール圏にどのように影響するか？
• RQ3 S(Ψ_V) に擬似トレース関数が存在しないことから、すべてのモジュールの半剛性を導くことは可能か？
• RQ4 すべての Ψ_W が S(Ψ_V) に含まれることは、有限自己同型の下での固定点部分VOAの有理的性を示唆するか？
• RQ5 C_2-コアの有限な有理的 VOA の固定点部分VOAが自身で有理的であるための条件は何か？

主な発見

• S(Ψ_V) に擬似トレース関数が存在しないという仮定のもとで、任意の V-モジュール W は半剛性である。
• すべてのモジュール W の特性関数 Ψ_W は、真空特性関数の S 変換 S(Ψ_V) の成分として現れる。
• S(Ψ_V) に擬似トレース関数が存在しないことは、トレース関数のモジュラー構造が明確であることを保証する。
• 有限自己同型の下での、有理的 CFT型 VOA の固定点部分VOAは、C_2-コアの有限であれば有理的である。
• C_2-コアの有限性のもとで、この結果は VOAs の群作用における対称的構造への有理的性の一般化を実現する。
• 関数的枠組みにより、モジュールの剛性が、モジュラー S 変換における病理的項（擬似トレース関数）の不在と直接的に結びつく。