[論文レビュー] Flatness, preorders and general metric spaces

Vincent Schmitt|ArXiv.org|Sep 12, 2003

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般のベース圏（特に $ar{\mathbb{R}}_+$（距離空間）および $\mathbf{Bool}$（順序集合）を含む）に倣った圏における一般化された平坦性—${\cal P}$-平坦性—の概念を導入する。この平坦性は、距離空間に対して非対称な2つの完成を ${\cal P}_1$-および ${\cal P}_2$-平坦性によって特徴づけ、順序集合に対しては理想完成を回復し、距離構造と順序構造の両方における圏論的完成を統一的に扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

This paper studies a general notion of flatness in the enriched context: P-flatness where the parameter P stands for a class of presheaves. One obtains a completion of a category A by considering the category Flat_P(A) of P-flat presheaves over A. This completion is related to the free cocompletion of A under a class of colimits defined by Kelly. For a category A, for P = P0 the class of all presheaves, Flat_P0(A) is the Cauchy-completion of A. Two classes P1 and P2 of general interest for general metric spaces are considered. The P1- and P2-flatness are investigated and the associated completions are characterized for general metric spaces (enrichemnts over R+) and preorders (enrichments over Bool). We get this way two non-symmetric completions for metric spaces and retrieve the ideal completion for preorders.

研究の動機と目的

• 豊密化圏論を用いて、距離空間と順序集合における完成を統一的に記述する枠組みを構築すること。
• Cauchy完成の概念を超えて、任意のプレシャーブのクラスに対して ${\cal P}$-平坦性を導入することにより、平坦性の概念を一般化すること。
• 前方のCauchy列に基づくフィルターを用いて、非対称距離空間の2つの新しい完成を ${\cal P}_1$-および ${\cal P}_2$-平坦性によって特徴づけること。
• 順序集合に対しては、${\cal P}_1$-完成が空でない下方向集合を、${\cal P}_2$-完成が代数的（理想）完成をもたらすことを示すこと。
• これらの完成が特定の種類の余極限の下での自由余完備化として生じることを確立し、Kellyの枠組みを一般化すること。

提案手法

• ${\cal P}$-平坦性を、ヤオの埋め込みに沿った左カルタン拡張が、プレシャーブのクラス ${\cal P}$ によってインデックスづけられたすべての極限を保存する性質として定義する。
• ${\cal P}$-完成 $Flat_{\cal P}(A)$ を、$[A^{op}, {\cal V}]$ 内の ${\cal P}$-平坦プレシャーブの全部分圏として構成する。
• ${\cal V} = \bar{\mathbb{R}}_+$ の場合、${\cal P}_1$-および ${\cal P}_2$-平坦プレシャーブを距離空間上の弱く平坦なフィルターおよび平坦なフィルターとして解釈する。
• ${\cal V} = \mathbf{Bool}$ の場合、${\cal P}_1$-平坦モジュールが空でない下方向集合に対応し、${\cal P}_2$-平坦モジュールが空でない有向下方向集合に対応することを示す。
• Kellyのスタイルに従い、インデックス付き極限および余極限を用いて完成の普遍的性質を導出する。
• $Flat_{{\cal P}_1}(A)$ および $Flat_{{\cal P}_2}(A)$ が、それぞれ空でないおよび空でない有向余極限の下での自由余完備化であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離空間と順序集合の完成は、豊密化圏論を用いて一様に記述可能か？
• RQ2 順序集合の理想完成は、平坦性の観点からどのように圏論的に解釈できるか？
• RQ3 非対称距離空間の完成は、一般化された平坦性条件からどのように生じるか？
• RQ4 ${\cal P}_1$-および ${\cal P}_2$-平坦性と距離空間における前方のCauchy列の関係は何か？
• RQ5 ${\cal P}_1$-および ${\cal P}_2$-完成は、圏論を用いずに、距離的または位相的言語のみで特徴づけられるか？

主な発見

• 順序集合の ${\cal P}_1$-完成は、包含関係に関して空でない下方向集合の順序集合に対応し、空でない集合の上限を保存する普遍的性質を持つ。
• 順序集合の ${\cal P}_2$-完成は代数的（理想）完成、すなわち空でない有向下方向集合の順序集合であり、空でない有向集合の上限を保存する普遍的性質を持つ。
• ${\cal V} = \bar{\mathbb{R}}_+$ において、${\cal P}_1$-平坦プレシャーブは弱く平坦なフィルターに対応し、${\cal P}_2$-平坦プレシャーブは平坦なフィルターに対応する。両者ともCauchyフィルターを一般化する。
• 対称距離空間の ${\cal P}_2$-完成はそのCauchy完成と一致するが、非対称な場合には双方向完成とは異なる。
• 距離空間の ${\cal P}_1$-および ${\cal P}_2$-完成は、前方のCauchy列の余極限として特徴づけられ、それぞれ弱く平坦なフィルターおよび平坦なフィルターが対応するモジュールである。
• $Flat_{{\cal P}_1}(A)$ の普遍的性質により、空でない集合の上限を保存する順序を保つ写像が、$A$ から空でない上限を持つ順序集合への任意の写像が、一意に完成へに拡張可能である。