[論文レビュー] Flats in Riemannian Submersions from Lie Groups

Kristopher Tapp|ArXiv.org|Mar 13, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、双不変計量を備えたコンパクトなリー群からのリーマン的測度の任意の水平零曲率平面が、群内で平坦な部分多様体に指数写像され、その射影が底空間に平坦な部分多様体になることを証明する。主な結果として、このような底空間には平坦な部分多様体が存在しなければならないことが示され、これはかつて双双商（biquotients）でのみ知られていた性質を確認したものであり、すべてのこのような測度が双双商である可能性を裏付ける証拠を提供する。

ABSTRACT

We prove that any base space of Riemannian submersion from a compact Lie group (with bi-invariant metric) must have a basic property previously known for normal biquotients; namely, any zero-curvature plane exponentiates to a flat.

研究の動機と目的

• 双不変計量を備えたコンパクトなリー群からのリーマン的測度の底空間が持つ基本的な幾何的性質を確立すること。
• このような測度が、かつて双双商の測度でのみ知られていた平坦化指数写像の性質を共有しているかどうかを調査すること。
• K. グローブが提起した問いに応えるために、コンパクトなリー群からのリーマン的測度がすべて双双商である可能性を示唆する証拠を提供すること。
• ムンティアヌの1次元ファイバー測度に関する手法を、任意のファイバー次元へ一般化すること。
• 特に曲率と平坦性との関係において、リー群からの測度の文脈でのホロノミー・ジャコビ場の振る舞いを分析すること。

提案手法

• 双不変計量を備えたコンパクトなリー群の幾何を用いて、水平分布および曲率の性質を分析する。
• 水平測地線に 沿ったホロノミー・ジャコビ場の概念を適用し、ベクトル場が垂直分布に直交することを研究する。
• リーマン的測度の基本的テンソル A と T を用いて、ジャコビ場の進化を記述する微分方程式を導出する。
• ジャコビ場の列の収束に基づく背理法を用い、初期導関数が直交しない場合、非有界な成長が生じることを示す。
• 初期導関数がゼロである平行ジャコビ場は有界のままであることを利用し、これと底空間の平坦な部分多様体の関係を結ぶ。
• ウィルキングの双双商に対する証明を、リー群の文脈における平行移動と曲率の振る舞いを分析することで、一般のリーマン的測度へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双不変計量を備えたコンパクトなリー群からのリーマン的測度において、水平零曲率平面が底空間に平坦な部分多様体に指数写像されるという性質は、すべての測度に共通するか？
• RQ2 平坦化指数写像の性質は、双双商に限らず、双不変計量を備えたコンパクトなリー群からの一般のリーマン的測度へ拡張可能か？
• RQ3 ホロノミー・ジャコビ場は、水平平面が底空間に平坦に射影されるかどうかを決定する上で、どのような役割を果たすか？
• RQ4 ホロノミー・ジャコビ場が有界に保たれる条件は何か？ そして、これは底空間の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 平坦化指数写像という共通の幾何的制約に基づき、すべてのコンパクトなリー群からのリーマン的測度が双双商である可能性はあり得るか？

主な発見

• 双不変計量を備えたコンパクトなリー群における任意の水平零曲率平面は、水平のまま平坦な部分多様体に指数写像される。
• このような平坦な部分多様体の底空間への射影は、平坦な計量を備えた ℝ² の完全測地的埋め込みとして得られ、すなわち底空間に平坦な部分多様体が存在する。
• 証明は、測地線に 沿った水平ベクトル場の平行移動が常に水平のままであることを示すことに依拠しており、これはベクトル場がすべてのホロノミー・ジャコビ場に直交することに起因する。
• 初期導関数が水平ベクトル場に直交しない場合、背理法により非有界な成長が生じることを示し、これはコンパクト性と連続性に反する。
• この結果は双双商に限らず、双不変計量を備えたコンパクトなリー群からのすべてのリーマン的測度に成立する。
• この定理により、対称空間やノーマルな双双商からのリーマン的測度に対しても、平坦化指数写像の性質が成り立つことが示され、従来の結果が一般化される。