[論文レビュー] Flats in Spaces with Convex Geodesic Bicombings

Dominic Descombes, Urs Lang|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、CAT(0)空間やBusemann空間を一般化する、凸な測地的二重結合を持つ距離空間が、等長埋め込みされた平坦な平面やトーラスを含む条件を確立する。一貫性があり凸な二重結合を導入し、群作用を活用することで、非一意的測地線を許容する空間に対しても平坦トーラス定理とGromovの双曲性基準を一般化する。特に、適切で、共コンpactな空間が、平坦な部分空間を含むための必要十分条件として、非双曲的であるか、またはランク≥1の自由アーベル部分群を含むことであることを証明する。

ABSTRACT

In spaces of nonpositive curvature the existence of isometrically embedded flat (hyper)planes is often granted by apparently weaker conditions on large scales. We show that some such results remain valid for metric spaces with non-unique geodesic segments under suitable convexity assumptions on the distance function along distinguished geodesics. The discussion includes, among other things, the Flat Torus Theorem and Gromov's hyperbolicity criterion referring to embedded planes. This generalizes results of Bowditch for Busemann spaces.

研究の動機と目的

• CAT(0)空間やBusemann空間から、一意的測地線でない空間へと、古典的な平坦性定理（平坦トーラス定理やGromovの双曲性基準）を拡張すること。
• 一貫性があり凸な測地的二重結合を導入し、平坦部分空間の存在に十分な、より弱い曲率条件としての役割を分析すること。
• 非正曲率幾何学とバナッハ空間論の結果を、凸ではあるが一意的測地線でない空間へ一般化することで統一すること。
• 適切で、共コンパクトな等長群作用と一貫性のある二重結合を備えた、適切な距離空間が、等長埋め込みされたノルム平面またはトーラスを含む条件を確立すること。
• 平行なσ-直線のσ-凸包が厚くなる可能性があること—一意的測地線空間における直感とは対照的—を示すこと。

提案手法

• 一貫性と凸性の公理（i）〜（iv）を満たす一貫性のある測地的二重結合σを導入し、測地的線分に沿った距離関数の凸性を保証する。
• σ-凸性とσ-直線の概念を用いて、ノルム空間への等長埋め込みと整合する写像として平坦部分空間を定義する。
• 群作用が適切かつ共コンパクトである場合に、二重結合σのΓ-不変性を用い、群の平行移動によって幾何的構造が保存されることを保証する。
• 有限集合の重心を用いた極限構成により、1リプシッツ近似fk: R^n → Xを定義し、変位の増加が部分線形であることを保証する。
• 定理4.1および命題6.2を適用し、これらの写像の極限がノルム構造を備えたR^nの等長埋め込みを導くことを示す。
• R^3におけるmaxノルムの具体例を用いて、等長埋め込みされた平坦部分が、二重結合が不変であってもσ-凸でない可能性がある反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な距離空間に一貫性のある測地的二重結合が存在するとき、その空間が等長埋め込みされたノルム平面を含むための条件は何か？
• RQ2 一意的測地線が存在しない空間に対しても、凸な二重結合が存在する限り、平坦トーラス定理を拡張できるか？
• RQ3 特定の測地線に沿った距離関数の凸性が、Busemann空間でない空間において、平坦部分空間の存在をどの程度保証するか？
• RQ4 一貫性のある二重結合のもとで、ノルム空間の等長埋め込みの像は必然的にσ-凸であるか？
• RQ5 平行なσ-直線のσ-凸包の性質は、一意的測地線空間とはどのように異なるか？

主な発見

• 適切な距離空間に一貫性のある二重結合と共コンパクトな等長群作用があるとき、その空間が非双曲的であることは、等長埋め込みされたノルム平面を含まないための必要十分条件である。
• 群Γが適切かつ共コンパクトに、適切な距離空間Xに等長作用し、Γにランクn ≥ 1の自由アーベル部分群が存在する場合、Xは、Aが平行移動で作用するn次元ノルム空間の等長埋め込みを含む。
• 軌道点の重心を用いて構成された極限写像g: R^n → Xは1リプシッツであり、o(k)の部分線形変位増加を満たすため、平坦埋め込みの存在が保証される。
• 群作用の条件を満たす任意の等長埋め込みf: (R^n, ∥·∥) → Xの像は、maxノルムを備えたR^3における反例によって、σ-凸でない可能性がある。
• X上の一貫性のある二重結合σにより、{σxy}の族は一貫性があり、平行な二つのσ-直線のσ-凸包は、Busemann空間とは異なり、厚くなる可能性がある。
• 極限写像fの重心による構成と、部分線形変位推定（例：d(g(a), αx) = o(k)）の使用は、極限における等長平坦性の証明に不可欠である。