[論文レビュー] Flexible Coinduction in Agda

Luca Ciccone, Dagnino, Francesco+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 7被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、Agdaにおけるcoruleを用いた一般化された推論系の実装手法を提示し、標準的な帰納法やコイナドクションではカバーできない帰納的述語の形式的検証を可能にする。2段階の型システム（帰納的・コイナドクティブな記録とパラメトリックなStep型を併用）を導入し、正しさを保証するための有界コイナドクション原理を証明した。このアプローチは、'いつか'や'無限に何度も'といった時系列論理演算子の例を用いて検証された。

ABSTRACT

Many properties of communication protocols stem from the combination of safety and liveness properties. Characterizing such combined properties by means of a single inference system is difficult because of the fundamentally different techniques (coinduction and induction, respectively) usually involved in defining and proving them. In this paper we show that Generalized Inference Systems allow for simple and insightful characterizations of (at least some of) these combined inductive/coinductive properties for dependent session types. In particular, we illustrate the role of corules in characterizing weak termination (the property of protocols that can always eventually terminate), fair compliance (the property of interactions that can always be extended to reach client satisfaction) and also fair subtyping, a liveness-preserving refinement relation for session types.

研究の動機と目的

• 標準的な帰納法やコイナドクションでは扱えない、coruleを含む一般化された推論系によって定義される述語を扱う限界を克服すること。
• このようなシステムを体系的にAgdaで符号化し、その正しさを証明するための方法論を構築すること。
• 並列システムにおける実世界の検証タスクへの適用可能性を示すために、時系列論理演算子を用いた実装を提示すること。
• 特に無限構造や非自明な推論を含む複雑なコイナドクティブな述語をAgdaで実装するための再利用可能なガイドラインを提供すること。

提案手法

• coruleを含む推論系の意図する解釈を表すコイナドクティブ記録（Gen(I, Ico)）を定義する。
• 拡張されたシステムの帰納的解釈を表す帰納的型（Ind(I ∪ Ico)）を用いる。
• 与えられた仕様に対して規則の適用を表現するための非再帰的パラメトリック型 'Step' を導入し、整合性のチェックを可能にする。
• 'Step'型を用いて有界コイナドクション原理を証明し、推論系の完全性を保証する。
• Agdaの型システムおよびwith節や不可能なケースの取り扱いなどの機能を活用し、colistsに対するパターンマッチと等価性の推論を管理する。
• 『いつか』『常に』『無限に何度も』といった時系列演算子を、事例として形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なコイナドクションが失敗する状況において、Agdaでcoruleを含む一般化された推論系を形式的に符号化する方法は何か？
• RQ2 無限深さの推論を要するコイナドクティブな述語を定義し、その正しさを体系的に検証するための方法は何か？
• RQ3 Agdaにおいて有界コイナドクションを形式化し、その完全性を保証する証明はどのように行えるか？
• RQ4 この手法は、複数の引数をもつ述語やcolistsのような複雑なデータ構造へとどの程度スケーリング可能か？
• RQ5 時系列論理演算子は、このフレームワークを用いて効果的にモデル化・検証できるか？

主な発見

• 提案手法は、'maxElem' や 'infinitely often' といった、標準的な帰納的またはコイナドクティブな解釈では捉えきれない述語を効果的に符号化できた。
• パラメトリックな 'Step' 型の使用により、規則適用の精密な制御が可能となり、有界コイナドクション原理の形式的定式化を支援した。
• 有界コイナドクション原理は、'Step'型を用いてAgda内で証明され、完全性の検証に向けた標準的な手法が得られた。
• colistsに対するパターンマッチには、スレッドと不可能なケースの取り扱いが不可欠であり、これはwith節と補助的な等価性証明によって管理された。
• フレームワークは複数引数の述語へもスケーリング可能であるが、colistsにまたがる存在変数の数が増えると複雑性が増す。
• このアプローチにより、Agdaが手書きの推論系スキームを忠実に表現でき、複雑なコイナドクティブな性質の機械検証可能な証明が可能であることが示された。