[論文レビュー] Flexible Weinstein manifolds

Kai Cieliebak, Yakov Eliashberg|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、柔軟な Weinstein 多様体がその形式的同型類内でホモトピーに関して一意に決定されることを確立し、松かさの h-原理を用いて、非局所的 Legendre 結び目の場合に一般化している。主な結果は、同じ多様体上の任意の2つの柔軟な Weinstein 構造が、形式的にホモトープであるならば、それらが柔軟構造を通じてホモトープであるということであり、4次元を超えるシンプレクティック位相幾何学における強力な分類および埋め込み結果を可能にする。

ABSTRACT

This survey on flexible Weinstein manifolds is, essentially, an extract from our recent joint book.

研究の動機と目的

• その形式的同型類内での柔軟な Weinstein 構造のホモトピー的同型に関しての一意性を確立すること。
• 非局所的 Legendre 結び目の h-原理を、柔軟な Weinstein 多様体の設定に拡張すること。
• 柔軟なハンドル体分解を用いて、開多様体上のシンプレクティック構造を分類するための枠組みを提供すること。
• 高次元におけるシンプレクティック埋め込みおよび接触同倫の問題への応用を導出すること。
• 形式的ホモトピー同型類と実際の Weinstein 構造のホモトピー同型類との関係を明確にすること。

提案手法

• 非局所的 Legendre 結び目の h-原理を用いて、柔軟な Weinstein 構造を構成すること。
• Moser の安定性定理を応用し、シンプレクティック構造を保ちながら Liouville 形式を変形すること。
• 境界付近で固定された、排出関数のモースホモトピーを通じた Weinstein ホモトピーの構成。
• 微分同相型 $ h_t $ を用いて Liouville 形式を正規化し、所望のシンプレクティック同倫を達成すること。
• 完成化手続きを用いて、Weinstein 細胞体と有限型 Weinstein 多様体との関係を結ぶこと。
• 相対的 h-原理を応用して、円筒的端部にわたるホモトピーを拡張し、柔軟性を維持すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ある多様体上の柔軟な Weinstein 構造は、その形式的同型類内でホモトピーに関して一意に分類可能か？
• RQ2 非局所的 Legendre 結び目の h-原理は、Weinstein 構造の分類にどのような意味を持つのか？
• RQ3 滑らかな埋め込みが、柔軟な Weinstein 細胞体に対してシンプレクティック埋め込みに同倫可能となる条件は何か？
• RQ4 柔軟な Weinstein 多様体のシンプレクティック埋め込みは、Liouville 形式の選択にどの程度依存するか？
• RQ5 柔軟性の条件下で、接触多様体の任意の擬似同倫が接触同倫として実現可能か？

主な発見

• 柔軟な Weinstein 構造は、その形式的同型類内でホモトピーに関して一意に決定され、h-原理によって示された。
• 形式的にホモトープである任意の2つの柔軟な Weinstein 構造は、柔軟構造を通じてホモトープであり、ホモトピーによる分類が可能であることを示唆する。
• $ \geq 5 $ 次元の閉じた接触多様体の任意の微分同相型で、恒等写像に擬似同倫であるものは、接触同相写像に滑らかに同倫可能である。
• 任意の柔軟な Weinstein 細胞体 $ (W,\omega,X,\phi) $ に対して、$ d\Lambda $ が $ \omega $ にホモトープである任意の Liouville 形式 $ \Lambda $ は、正確な微分形式を加えることで、元の Liouville 形式 $ \lambda $ の倍率に同倫可能である。
• 任意の滑らかな埋め込み $ f_0: W \hookrightarrow X $ で、$ f_0^*\Omega $ が正確で、$ df_0 $ がシンプレクティック写像にホモトープであるものは、十分に小さい $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ (W,\varepsilon\omega) \hookrightarrow (X,\Omega) $ となるシンプレクティック埋め込み $ f_1 $ に同倫可能である。
• Liouville ベクトル場の双対が完全である場合、任意の大きな $ \varepsilon $ に対してもシンプレクティック埋め込みが存在し、適用範囲が拡張される。