[論文レビュー] Floating Bodies of Equilibrium II

Franz Wegner|ArXiv.org|May 22, 2002

Marine and Offshore Engineering Studies参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、密度 ρ ≠ 1/2 で任意の向きに浮かぶ非円形で p 回対称な断面を持つ2次元浮体の境界曲線を記述する非摂動的微分方程式を導出する。弦長と接線角の幾何的制約を用いて、境界曲線が楕円積分を用いて解ける微分方程式に従うことを示し、従来の摂動的結果を再現するとともに、p 回対称性ごとに p−2 個の異なる密度が存在することを証明する。

ABSTRACT

In a previous paper (physics/0203061) ''Floating bodies of equilibrium I'' I have shown that there exist two-dimensional non-circular cross-sections of bodies of homogeneous densities rho not equal 1/2 which can float in any orientation in water, which have a p-fold rotation axis. For given p they exist for p-2 different densities. However, this was found only in a Taylor-expansion in a parameter which describes the distortion from the circular shape up to seventh order. Here a differential equation for the boundary curve is given and the non-circular boundary curve can be expressed in terms of an elliptic integral.

研究の動機と目的

• 非円形断面で、密度 ρ ≠ 1/2 の一様な2次元浮体が任意の向きに浮かぶ非摂動的解法を提供すること。
• 文献 [physics/0203061] の摂動展開を7次以降にまで一般化する境界曲線の微分方程式を導出すること。
• 境界曲線が楕円積分として表現可能であることを示し、浮遊形状の正確な特徴づけを可能にすること。
• p 回対称な物体が任意の向きに浮かぶような、ρ ≠ 1/2 であるような p−2 個の異なる密度が存在することを証明すること。
• 水線上の端点における弦長一定および接線角が等しいという幾何的条件が、回転に対する平衡状態を満たす十分条件であることを検証すること。

提案手法

• 極座標における径方向境界曲線の微分方程式を導出：$ \frac{1}{\sqrt{r^2 + r'^2}} = a r^2 + b + c r^{-2} $、ここで $ r' = dr/d\psi $ である。
• 微分方程式を積分形に変換：$ \psi = \pm \int \frac{dr (a r^4 + b r^2 + c)}{r \sqrt{r^2 - (a r^4 + b r^2 + c)^2}} $、これは楕円積分により解ける。
• 線条件：一定長の弦の端点の中点の軌跡が水線の包絡線であること、および角度条件：弦の両端における接線角が等しいことを利用。
• 非整数 p に対する予想を用いて、無限小回転の極限で微分方程式を導出し、その後整数 p に拡張する。
• 周期性を $ \int_{r_<}^{r_>} \frac{dr (a r^4 + b r^2 + c)}{r \sqrt{r^2 - (a r^4 + b r^2 + c)^2}} = \frac{\pi}{p} $ として課し、対称性と幾何的パラメータを結びつける。
• 対称な弧上での等距離点において $ \dot{n} = 0 $ を満たす解が、回転に対する平衡状態を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非円形で p 回対称な断面、密度 ρ ≠ 1/2 の物体が、水の中で任意の向きに浮かぶことは可能か？
• RQ2 摂動的展開を超えて、このような浮体の境界曲線を記述する微分方程式は何か？
• RQ3 一定弦長および等しい接線角という幾何的制約をどのように用いて境界方程式を導出できるか？
• RQ4 なぜこのような物体が任意の向きに浮かぶような密度 ρ ≠ 1/2 がちょうど p−2 個存在するのか？
• RQ5 境界方程式の解は、楕円積分などの既知の特殊関数で表現可能か？

主な発見

• p 回対称性と ρ ≠ 1/2 をもつ浮体の境界曲線は、微分方程式 $ \frac{1}{\sqrt{r^2 + r'^2}} = a r^2 + b + c r^{-2} $ を満たし、これは楕円積分により解ける。
• この微分方程式の解を変形パラメータ ε のべき級数に展開すると、[physics/0203061] で得られた摂動的結果を7次まで正確に再現する。
• 各整数 p ≥ 3 に対して、p 回対称な物体が任意の向きに浮かぶような、ρ ≠ 1/2 であるような p−2 個の異なる密度が存在する。
• p−2 個の解の存在は、弦の角度変化率を表す関数 $ \dot{n} $ が、径方向の極値 $ r_{<} $ と $ r_{>} $ の間で符号を変えることにより証明され、非隣接な弧のペアごとにゼロ点が存在することが保証される。
• 円に近い極限において、対称性の数 p は曲率パラメータ a と関係し、$ p^2 = 1 + 8a r^3 $ となる。ここで r は中間的な半径である。
• 微分方程式およびその解は、$ 2\pi/p $ の回転に対して不変であり、浮遊形状の p 回対称性が確認される。