[論文レビュー] Floating Bodies of Equilibrium in Three Dimensions. The central symmetric case

Franz Wegner|ArXiv.org|Mar 7, 2008

Mathematics and Applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、球体を超えたウラムの問題を拡張し、任意の方向で平衡状態で浮遊する三次元の中心対称体を調査する。球面調和関数展開と非線形形状方程式を用いて、相対密度 $\rho = \frac{1}{2}$ の場合、穴が許可されるならば非球形解が存在することを証明する。また、$\rho \ne \frac{1}{2}$ の場合、関連陪ルジャンドル関数の退化零点が存在しないという仮定の下で、形式的摂動展開により、非常に多くの解が得られる変形球体が出現することを示す。

ABSTRACT

Three-dimensional central symmetric bodies different from spheres that can float in all orientations are considered. For relative density rho=1/2 there are solutions, if holes in the body are allowed. For rho different from 1/2 the body is deformed from a sphere. A set of nonlinear shape-equations determines the shape in lowest order in the deformation. It is shown that a large number of solutions exists. An expansion scheme is given, which allows a formal expansion in the deformation to arbitrary order under the assumption that apart from x=0,+1,-1 there is no x, which obeys P_{p,2}(x)=0 for two different integer ps, where P are Legendre functions.

研究の動機と目的

• 非球形で中心対称な三次元体が、相対密度 $\rho = \frac{1}{2}$ の場合に、任意の方向で無差別平衡状態で浮遊できるかどうかを特定すること。
• 既知の2次元ケースを超えて、任意の相対密度 $\rho \ne \frac{1}{2}$ における浮遊体の平衡状態の存在と構造を分析すること。
• 球面調和関数展開を用いて、球体から変形されたこのような体の形状を記述する非線形形状方程式を導出し、解くこと。
• 浮遊体の形状に対する形式的摂動展開スキームを確立すること。この展開は、$P_{p,-2}^{(\text{odd})}(\cos\theta_0) = 0$ を満たす $\theta_0$ が2つの異なる $p$ に対して同時に成立しないという条件のもとで有効である。
• 対称性、特に鏡映対称性と逆対称性が浮遊体問題の解の形状に与える役割を調査すること。

提案手法

• 浮遊体の形状を、重心からのずれを測定して、球体を中心に球面調和関数で展開する。
• 浮沈体積と浮力体積が一定であるという制約の下でポテンシャルエネルギーを最小化し、重心の位置が球面上にあるという条件が得られる。
• 変形の一次および二次の段階における非線形形状方程式を導出し、関連陪ルジャンドル関数とルジャンドル多項式展開の係数を含む。
• 回転対称性や鏡映対称性などの対称性仮定の下で方程式を解析し、O(3)の部分群に対して不変な解に制限する。
• 高次の補正項に対する形式的展開スキームを構築し、異なる $p$ に対して $P_{p,-2}(\cos\theta_0)$ の零点に退化がないという仮定のもとで、解の可解性を保証する。
• 関連陪ルジャンドル関数のロドリゲスの公式と再帰関係を用いて、特に $G^{(d/2-1)}_{2n}(x)$ の係数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対密度 $\rho = \frac{1}{2}$ の場合に、非球形で中心対称な三次元体が、任意の方向で無差別平衡状態で浮遊できるか？
• RQ2 相対密度 $\rho \ne \frac{1}{2}$ の場合に、このような浮遊体が存在できるか。その場合、形状にどのような制約が課されるか？
• RQ3 球体から浮遊体に変形するのを記述する非線形形状方程式の構造は何か？
• RQ4 特に鏡映対称性と逆対称性を含む体の対称性が、解の存在と形にどのように影響するか？
• RQ5 このような体の形状を変形の任意の次数まで決定できる形式的摂動展開を構築できるか？

主な発見

• 相対密度 $\rho = \frac{1}{2}$ の場合、体に穴が許可されるならば、非球形解が存在し、この場合に球体が唯一の平衡状態で浮遊する体ではないことを示している。
• 相対密度 $\rho \ne \frac{1}{2}$ の場合、体は球体から変形されており、その形状は球面調和関数展開から導かれた非線形形状方程式によって支配される。
• 特にO(3)の部分群に対して不変な対称性仮定の下で、形状方程式の解が多数得られ、鏡対称な形状が得られる。
• 二次の形状方程式は、同じ調和モードへの正射影の二乗が元の変形に比例する変形のみを許容するため、中心対称性を保つには偶数 $p$ に限られる。
• 形式的展開スキームは、異なる $p$ に対して $P_{p,-2}(\cos\theta_0) = 0$ を満たす $\theta_0 \in (-1,1)$ が存在しないという仮定のもとで有効であり、非退化解の存在を保証する。
• 数値的検証により、係数 $\gamma$ の分母に関連する関数 $K_p(x)$ が実数 $x$ に対して $p=36$ まで正の値をとることが示され、展開の正則性が支持されている。