[論文レビュー] Floating-Point Numbers with Error Estimates (revised)

Glauco Masotti|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2012

Numerical Methods and Algorithms参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、浮動小数点数のデータ構造を提案し、値とは別に推定誤差情報を埋め込むことで、計算中の誤差追跡を正確に行えるようにする。相対誤差推定を監視し、動的に精度を調整することで、結果の正当性を保証し、条件が悪い問題を検出するとともに、最小限のパフォーマンスオーバーヘッドで誤差境界付きの堅牢な計算を実現する専用ハードウェアを支援する。

ABSTRACT

The study addresses the problem of precision in floating-point (FP) computations. A method for estimating the errors which affect intermediate and final results is proposed and a summary of many software simulations is discussed. The basic idea consists of representing FP numbers by means of a data structure collecting value and estimated error information. Under certain constraints, the estimate of the absolute error is accurate and has a compact statistical distribution. By monitoring the estimated relative error during a computation (an ad-hoc definition of relative error has been used), the validity of results can be ensured. The error estimate enables the implementation of robust algorithms, and the detection of ill-conditioned problems. A dynamic extension of number precision, under the control of error estimates, is advocated, in order to compute results within given error bounds. A reduced time penalty could be achieved by a specialized FP processor. The realization of a hardwired processor incorporating the method, with current technology, should not be anymore a problem and would make the practical adoption of the method feasible for most applications.

研究の動機と目的

• 浮動小数点計算における精度損失と誤差の拡大を解消すること。
• 中間結果および最終結果における絶対誤差と相対誤差を推定する手法を開発すること。
• 誤差推定に基づいて動的に精度を調整し、保証された正確性を達成すること。
• 誤差推定を最小限のパフォーマンスコストで統合できる専用ハードウェアプロセッサの設計を支援すること。
• 誤差監視による条件が悪い問題の検出を通じて、数倉アルゴリズムの信頼性を向上させること。

提案手法

• 値と推定誤差の両方を格納するデータ構造として浮動小数点数を表現し、誤差に配慮した算術演算を可能にする。
• 計算中に安定的かつ統計的にコンactに保たれるように、独自定義の相対誤差を使用する。
• 誤差伝播に制約を課し、推定絶対誤差が正確に保たれるようにする。
• 計算全体を通して誤差推定を監視し、精度を向上させる必要があるタイミングを検出する。
• 実行時オーバーヘッドを最小限に抑えるために、専用浮動小数点プロセッサを用いたハードウェア加速実装を提唱する。
• 算術演算に誤差推定を統合し、必要に応じて自動的に精度を拡張できるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 浮動小数点計算における絶対誤差と相対誤差を、十分な精度とコンパクトさで推定する方法は何か？
• RQ2 誤差推定を用いて、ユーザー指定の誤差境界を満たすように計算中に精度を動的に調整できるか？
• RQ3 誤差推定が計算パフォーマンスに与える影響は何か？ また、ハードウェア支援によってこれを最小限に抑えることができるか？
• RQ4 誤差追跡を用いて、数値評価中に条件が悪い問題を検出する方法は何か？
• RQ5 誤差推定算術をネイティブにサポートする専用浮動小数点プロセッサを実装するのは現実的か？

主な発見

• 提案された誤差推定手法は、定義された制約下で、正確かつコンパクトに分布する絶対誤差推定値を維持する。
• 独自定義の相対誤差により、計算中の数値的安定性を信頼性高く監視できる。
• 誤差推定により、誤差境界が急速に増大するのを検出することで、条件が悪い問題の特定が可能になる。
• 誤差推定に基づく動的精度拡張により、結果がユーザーが定めた誤差境界内に保たれる。
• 現在の技術で実現可能なハードウェア実装であり、わずかな時間的ペナルティしか発生しない。
• ソフトウェアシミュレーションにより、さまざまな数値的問題とデータ型において、この手法の有効性が確認された。