[論文レビュー] Floer cohomology of immersed Lagrangian spheres in smoothings of $A_N$ surfaces

Garrett Alston|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$A_N$ 表面の滑らかさにおける自己フローリー上同調を、モース流れ線と正則ストリップの組み合わせによるピアリー軌道モデルを用いて $\mathbb{Z}_2$ 係数で計算する。主な結果は、一致路が臨界値を含まない場合、フローリー上同調が自明であり、少なくとも1つの臨界値を含む場合、次数 $-1, 0, 2, 3$ で $(\mathbb{Z}_2)^4$ に同型であることである。

ABSTRACT

We calculate the self-Floer cohomology with Z/2 coefficients of some immersed Lagrangian spheres in the affine symplectic submanifolds of C^3 that are smoothings of A_N surfaces. The immersed spheres are exact and graded. Moreover, they satisfy a positivity assumption that allows us to calculate the Floer cohomology as follows: Given auxiliary data a Morse function on S^2 and a time-dependent almost complex structure, the Floer cochain complex is the Morse complex plus two generators for each self-intersection point of the Lagrangian sphere. The Floer differential is defined by counting combinations of Morse flow lines and holomorphic strips. Using a Lefschetz fibration allows us to explicitly calculate all holomorphic strips and describe the Floer differential. For most of the immersed spheres the Floer differential is zero (with Z/2-coefficients).

研究の動機と目的

• 滑らかさにおける自己フローリー上同調を、$A_N$ 表面の滑らかさにおける自己フローリー上同調を計算すること。
• ピアリー軌道モデルを用いて、横断的自己交差を持つ自己埋め込みラグラングianに対してフローリー上同調の枠組みを拡張すること。
• フローリー微分が消えるか非自明になる条件を特定すること、特に包含された臨界値の数に基づいて。
• トーラスファイバーからの結果を、一致路を介しての消失サイクルの和集合として得られる任意の自己埋め込み球面へ一般化すること。

提案手法

• 自己交差点ごとに $\mathbb{Z}_2$ スパンの生成子を加えた、$S^2$ 上のモース関数のモース複体との直和としてフローリー上同調複体を構成する。
• ピアリー軌道の数え上げによりフローリー微分を定義する：自己交差点で分岐するモース流れ線と正則ストリップの組み合わせ。
• 自己埋め込みラグラングian球面に囲まれる正則ストリップを分類するために、Lefschetzファイブレーション $\pi_N: M_N \to \mathbb{C}$ を用いる。
• 正の性を仮定して、ドメルブルブルブルを排除し、未遮断性を保証し、Blaschke積構造を用いて正則ストリップの明示的計算を可能にする。
• 一致路が包含する臨界値の数が正則ストリップの成分数を決定し、$2^C$ 個の寄与する正則ストリップが得られることを活用する。
• インデックス計算と次数不変性を用いて、生成子の次数と微分の作用を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $A_N$ 表面の滑らかさにおける自己埋め込みラグラングian球面のフローリー上同調は何か？
• RQ2 一致路が包含する臨界値の存在が、フローリー微分にどのように影響するか？
• RQ3 自己埋め込みラグラングian球面に対してフローリー微分が消える条件は何か？
• RQ4 時間に依存する almost complex 構造とモース流れ線を含むピアリー軌道モデルを、自己埋め込みラグラングイアンのフローリー上同調を計算するために用いることができるか？
• RQ5 包含された臨界値の数が、フローリー上同調の次元と次数にどのように影響するか？

主な発見

• $r=1$ のとき、すなわち一致路が臨界値を含まないとき、$L_{N,r}$ の自己フローリー上同調は自明（$0$）である。
• $r > 1$ のとき、フローリー上同調は $(\mathbb{Z}_2)^4$ に同型であり、次数 $-1$, $0$, $2$, $3$ で1次元の成分を持つ。
• 一般の一致路 $\gamma$ を介して得られる自己埋め込み球面 $\Sigma_\gamma$ に対して、$\gamma$ が臨界値を含まない場合、フローリー上同調は自明である。
• $\gamma$ の内部に $C \geq 1$ 個の臨界値が含まれる場合、$\mathrm{HF}(\iota) \cong (\mathbb{Z}_2)^4$ であり、$r > 1$ の場合と同じ次数分布を持つ。
• 微分に寄与する正則ストリップの数は $2^C$ 個であり、これは微分の非自明性を決定する。
• 生成子 $p_{\text{min}}$ と $p_{\text{max}}$ のインデックスは、それぞれ $-1$ と $3$ であり、任意の次数付けにおいて、上同調の次数シフトを確認する。