[論文レビュー] Floer cohomology of torus fibers and real lagrangians in Fano toric manifolds

Garrett Alston, Lino Amorim|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Fano トーリック多様体におけるトーラスファイバーと実ラグランジュ部分多様体の間のFloer上同調を、F2 上の局所定数層を用いたねじれたFloer複体とZ2係数を用いて、組合せ論的記述することを確立する。Floer上同調 H^*(R, (Lc, Lρ)) が非自明であることは、かつそれが、ポテンシャル関数 ∇Wc(ρ) = 0 であることに同値であり、これにより H^*(R, (Lc, Lρ)) の非消滅性がトーリックポテンシャル関数の臨界点条件と結びつけられる。この結果を応用して、ハミルトニアンアイソトピー下での非可動性と交点数の下界を示す。

ABSTRACT

In this article, we consider the Floer cohomology (with $\Z_2$ coefficients) between torus fibers and the real Lagrangian in Fano toric manifolds. We first investigate the conditions under which the Floer cohomology is defined, and then develop a combinatorial description of the Floer complex based on the polytope of the toric manifold. We show that if the Floer cohomology is defined, and the Floer cohomology of the torus fiber is non-zero, then the Floer cohomology of the pair is non-zero. We use this result to develop some applications to non-displaceability and the minimum number of intersection points under Hamiltonian isotopy.

研究の動機と目的

• Fano トーリック多様体におけるトーラスファイバーと実ラグランジュ部分多様体の間のFloer上同調が定義可能となる条件を理解すること。
• ミオメトリックポリトープとF2値の局所定数層を用いて、Floer複体の完全な組合せ論的記述を構築すること。
• ポテンシャル関数 Wc を通じて、HF(R, (Lc, Lρ)) の非消滅性の明確な基準（Wc の臨界点条件）を確立すること。
• 組合せ論的記述を用いて、実ラグランジュ部分多様体とハミルトニアンアイソトピー下のトーラスファイバーとの交点数の下界を導出すること。
• 積多様体における補助的構成とF2の代数的閉包を用いて、実ラグランジュ部分多様体およびトーラスファイバーの非可動性を示すこと。

提案手法

• Fano トーリック多様体のミオメトリックポリトープを用いて、Floer複体の組合せ論的モデルを定義する。
• F2 に値をとる局所定数層 Lρ を用いて、標準的なFloer上同調複体をねじる。これによりラグランジュ対 (R, Lc) をモデル化する。
• R と Lc の交点を結ぶMaslov指数1の擬全純ストリップの数を数えることで、微分を定義する。
• 文献[9]における一般Floer理論枠組みを適用して上同調を定義し、それが組合せ論的数え上げと一致することを証明する。
• F2の代数的閉包を用いて、Wc(ρ) = 0 および ∇Wc(ρ) = 0 の解の存在を保証し、非可動性の結果を得る。
• HF(R, (Lc, Lρ)) が定義されない場合に備えて、積多様体 (XP × XP) を構成し、HF(R × R, (Lc × Lc, Lρ ⊕ Lρ)) を定義することで非可動性を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano トーリック多様体におけるトーラスファイバー Lc と実ラグランジュ部分多様体 R の間のFloer上同調 H^*(R, (Lc, Lρ)) が定義可能となる条件は何か？
• RQ2 ミオメトリックポリトープを用いて、R と Lc 間のFloer複体をどのように完全に組合せ論的に記述できるか？
• RQ3 HF(R, (Lc, Lρ)) の非消滅性とポテンシャル関数 Wc の臨界点との間の正確な関係は何か？
• RQ4 組合せ論的記述は、R と Lc のハミルトニアンアイソトピー下の交点数の下界をどのように導くか？
• RQ5 HF(R, (Lc, Lρ)) が定義されない場合でも、補助的構成を用いて R と Lc の非可動性を確立できるか？

主な発見

• Floer上同調 H^*(R, (Lc, Lρ)) は、ポテンシャル関数が Wc(ρ) = 0 を満たすときかつそのときに限り定義可能である。
• H^*(R, (Lc, Lρ)) が非自明であることは、かつそれが ∇Wc(ρ) = 0 であることに同値であり、上同調と Wc の臨界点との間の明確な関係を確立する。
• 任意のハミルトニアン微分同相φについて、φ(RP^k) と T^k が横断的交わるとき、交点数は ♯(φ(RP^k) ∩ T^k) ≥ 2⌊k/2⌋ を満たす。
• ∇Wc(ρ) = 0 であるが Wc(ρ) ≠ 0 である場合、HF(R, (Lc, Lρ)) は定義されないが、R と Lc は依然として非可動性を有する。
• 単調な場合、ある一意な単調トーラスファイバー L0 が存在し、ある Lρ に対して ∇W0(ρ) = 0 を満たす。これにより、R と L0 は非可動である：任意のハミルトニアン φ に対して φ(R) ∩ L0 ≠ ∅ が成り立つ。
• 積多様体の構成を用いて、元の上同調が定義されない場合でも、HF(R × R, (Lc × Lc, Lρ ⊕ Lρ)) を通じて非可動性を回復でき、この上同調のランクが交点数の下界を与える。