[論文レビュー] Flops of G-Hilb and equivalences of derived categories by variation of GIT quotient

Alastair Craw, Akira Ishii|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2002

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$ である有限アーベル部分群 $G$ に対して、商特異点 $\mathbb{C}^3/G$ のすべての射影的クリープント解消が、GIT商の変動を介して $\theta$-安定な $G$-コネステレーションのモジュライ空間 $\mathcal{M}_\theta$ として得られることを確立する。主な結果は、パrameter空間 $\Theta$ のチャネル構造を通じた、このような解消の完全な分類であり、隣接するチャネルにおけるモジュライ空間間の明示的導来同倣が与えられる。

ABSTRACT

For a finite subgroup G in SL(3,C), Bridgeland, King and Reid proved that the moduli space of G-clusters is a crepant resolution of the quotient C^3/G. This paper considers the moduli spaces M_θ, introduced by Kronheimer and further studied by Sardo Infirri, which coincide with G-Hilb for a particular choice of the GIT parameter θ. For G Abelian, we prove that every projective crepant resolution of C^3/G is isomorphic to M_θfor some parameter θ. The key step is the description of GIT chambers in terms of the K-theory of the moduli space via the appropriate Fourier--Mukai transform. We also uncover explicit equivalences between the derived categories of moduli M_θfor parameters lying in adjacent GIT chambers.

研究の動機と目的

• 有限アーベル群 $G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$ に対して、$\mathbb{C}^3/G$ のすべての射影的クリープント解消が、GIT商の変動を介してモジュライ空間 $\mathcal{M}_\theta$ として実現可能かどうかを特定すること。
• $K$-理論とフーリエ＝ムカイ変換を用いて、パrameter空間 $\Theta$ のチャネル構造を理解すること。
• 隣接するGITチャネルに属するパrameterに対して、$\mathcal{M}_\theta$ の導来カテゴリの間の明示的導来同倣を構成すること。
• $\mathrm{GIT}$ の構成における安定性パrameter $\theta$ とクリープント解消の幾何の間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 幾何的不変式理論（GIT）を用いて、$\theta$-安定および $\theta$-半安定な $G$-コネステレーションのモジュライ空間 $\mathcal{M}_\theta$ および $\overline{\mathcal{M}_\theta}$ を構成する。
• Bridgeland, King, および Reid による導来同倣 $\Phi_C: D(\mathcal{M}_C) \to D^G(\mathbb{C}^3)$ を用いて、$\mathcal{M}_C$ を等変導来カテゴリと関連付ける。
• $\theta$ をそのパラメータに応じた正則ラインバンドル $\mathcal{O}_{\mathcal{M}_\theta}(1)$ に写像する写像 $L_C: \Theta \to \mathrm{Pic}(\mathcal{M}_C)_{\mathbb{Q}}$ を定義し、$\theta$ と正則コンイの間の直接的な関係を確立する。
• $\varphi_C^*: \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(R(G), \mathbb{Q}) \to K(\mathcal{M}_C)_{\mathbb{Q}}$ の像を用いて、$\Theta$ のチャネル分解を分析し、$F^1/F^2 \cong \mathrm{Pic}(\mathcal{M}_C)_{\mathbb{Q}}$ を特定する。
• McKay クイバーと表現論を用いて、$\mathrm{G\text{-}Ext}^1(Q,S)$ を計算し、その次元が $\mathrm{Band}(Q,S)$ の連結成分の数に等しいことを示し、これが剛性と変形を支配することを示す。
• $\mathrm{Band}(Q,S)$ の連結成分の数が最大で2つであり、連結性が $Q$ の商層の剛性を意味することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限アーベル群 $G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$ に対して、$\mathbb{C}^3/G$ のすべての射影的クリープント解消が、あるGITパラメータ $\theta$ に対してモジュライ空間 $\mathcal{M}_\theta$ として実現可能か。
• RQ2 $\Theta$ のパラメータ空間のチャネル構造は、モジュライ空間 $\mathcal{M}_\theta$ の幾何とどのように関係しているか。
• RQ3 隣接するGITチャネルに属するパラメータの $\mathcal{M}_\theta$ の導来カテゴリの間の関係は何か。
• RQ4 $\mathrm{Band}(Q,S)$ の位相的性質は、$G$-コネステレーションの剛性と変形空間をどのように決定するか。
• RQ5 フーリエ＝ムカイ変換は、$\mathcal{M}_\theta$ の$K$-理論と表現環 $R(G)$ の間で果たす役割は何か。

主な発見

• $\mathbb{C}^3/G$ のすべての射影的クリープント解消が、有限アーベル群 $G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$ に対して、あるGITパラメータ $\theta$ に対して $\mathcal{M}_\theta$ に同型であることが示され、すべてのこのような解消が $\theta$-安定な $G$-コネステレーションのモジュライ空間として得られることを証明した。
• $L_C: \Theta \to \mathrm{Pic}(\mathcal{M}_C)_{\mathbb{Q}}$ は、各チャネル $C$ を $\mathcal{M}_C$ の正則コンイに写像する。この写像により、安定性パラメータとラインバンドルの間の直接的な関係が確立された。
• 隣接するGITチャネルに属するパラメータに対して、導来カテゴリ $D(\mathcal{M}_C)$ と $D(\mathcal{M}_{C'})$ は、ウォールクロッシングの幾何から明示的に構成されたフーリエ＝ムカイ変換により同倣である。
• $\mathrm{G\text{-}Ext}^1(Q,S)$ の次元は $\mathrm{Band}(Q,S)$ の連結成分の数に等しく、この数は最大で2つであり、連結性は商層 $Q$ の剛性を意味する。
• $\mathrm{Fill}(S)$ が単連結であるとき、$G$-層 $S$ は剛性である。すべての変形が自己同型によって自明化されるため、バンドの位相的性質が変形理論を支配することが示された。
• この構成により、$\Theta$ のチャネル分解を通じて、$\mathbb{C}^3/G$ のクリープント解消の完全な分類が得られ、各チャネルが異なる解消に対応することが分かった。