[論文レビュー] Flow-cut gaps and face covers in planar graphs

Robert Krauthgamer, James R. Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、端子がγ個の面に配置された平面的ネットワークにおけるフロー・カットギャップがO(log γ)であることを確立しており、従来の境界を著しく改善している。端子上の最短経路距離がO(log γ)の歪みでランダムな木に確率的埋め込み可能であることを示すことにより、著者たちはタイトな漸近的境界を達成し、平面的グラフにおけるネットワークフロー理論における長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

The relationship between the sparsest cut and the maximum concurrent multi-flow in graphs has been studied extensively. For general graphs, the worst-case gap between these two quantities is now settled: When there are k terminal pairs, the flow-cut gap is O(log k), and this is tight. But when topological restrictions are placed on the flow network, the situation is far less clear. In particular, it has been conjectured that the flow-cut gap in planar networks is O(1), while the known bounds place the gap somewhere between 2 (Lee and Raghavendra, 2003) and [MATH HERE] (Rao, 1999).A seminal result of Okamura and Seymour (1981) shows that when all the terminals of a planar network lie on a single face, the flow-cut gap is exactly 1. This setting can be generalized by considering planar networks where the terminals lie on one of γ > 1 faces in some fixed planar drawing. Lee and Sidiropoulos (2009) proved that the flow-cut gap is bounded by a function of γ and Chekuri, Shepherd, and Weibel (2013) showed that the gap is at most 3γ. We significantly improve these asymptotics by establishing that the flow-cut gap is O(log γ). This is achieved by showing that the edge-weighted shortest-path metric induced on the terminals admits a stochastic embedding into trees with distortion O(log γ). The latter result is tight, e.g., for a square planar lattice on Θ(γ) vertices.The preceding results refer to the setting of edge-capacitated networks. For vertex-capacitated networks, it can be significantly more challenging to control flow-cut gaps. While there is no exact vertex-capacitated version of the Okamura-Seymour Theorem, an approximate version holds; Lee, Mendel, and Moharrami (2015)

研究の動機と目的

• 端子が複数の面に配置された平面的ネットワークにおけるフロー・カットギャップの既知の上界と下界の間のギャップを埋める。
• 単一面の端子構成に限らない、Okamura-Seymour定理の一般化を試みる。
• γ面の端子制約下における平面的グラフにおけるフロー・カットギャップのタイトな漸近的境界を確立する。
• 最短経路距離をO(log γ)の歪みで保ちながら、確率的埋め込みを可能にする技術を開発する。
• エッジ容量のネットワーク設定から頂点容量のネットワーク設定へと結果を拡張し、フロー・カットギャップがより複雑になる状況に対処する。

提案手法

• γ面の平面的ネットワークにおける端子上のエッジ重み付き最短経路距離が、O(log γ)の期待歪みでランダムな木に埋め込まれることを証明する。
• 確率的技法とランダムな分割を用いて、制御された歪みを持つ確率的埋め込みを構築する。
• 平面的グラフの構造的性質とフェースカバーを活用して、埋め込みの歪みを限定する。
• 既知の木距離とマルチコンmodityフローの関係を応用し、埋め込み結果を用いてフロー・カットギャップの上界を導出する。
• 埋め込みフレームワークを頂点容量に適応することで、頂点容量のネットワークへの分析を拡張する。
• 頂点容量に関する既存の近似版Okamura-Seymour定理の結果を基盤として、頂点容量拡張の分析を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 端子がγ個の面に配置された平面的ネットワークにおけるフロー・カットギャップの最もタイトな漸近的境界は何か？
• RQ2 γ面の平面的ネットワークにおける端子上の最短経路距離は、O(log γ)の歪みで確率的に入射可能な木に埋め込めるか？
• RQ3 平面的グラフにおけるフロー・カットギャップは、端子面の数γに従ってどのようにスケーリングされ、従来の境界を超えて改善可能か？
• RQ4 Okamura-Seymour定理は、頂点容量のネットワークへどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 メトリック埋め込みを用いて、トポロジカル制約付きグラフにおけるフロー・カットギャップを一般化して境界付けるためのフレームワークは存在するか？

主な発見

• 端子がγ個の面に配置された平面的ネットワークにおけるフロー・カットギャップはO(log γ)であり、従来の3γという境界を改善している。
• このようなネットワークにおける端子上の最短経路距離は、O(log γ)の期待歪みで木に確率的埋め込み可能であり、これは特定の平面的格子においてタイトである。
• この結果により、平面的ネットワークにおけるO(1)ギャップの予想に近いほぼ最適な漸近的境界が達成された。
• 確率的埋め込み技術により、平面的設定におけるフローとカットの値を木距離を介して一般化して関連付ける手法が得られた。
• フレームワークは頂点容量のネットワークへも拡張可能であり、近似版Okamura-Seymour定理を用いて境界を導出できる。
• O(log γ)の境界は、Θ(γ)頂点の平面的正方形格子などの構成によって、定数要因の範囲でタイトであることが示された。