[論文レビュー] Flow-independent Anisotropic space, and perturbation of resonances

Yannick Guedes Bonthonneau|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Anosovベクトル場の滑らかな $ C^1 $-摂動に対して、流れに依存しない非一様空間 $ \mathcal{H}_G $ を構築することにより、Ruelle-Pollicott固有値の安定性を確立する。$ \mathcal{H}_G $ 上での $ X $ の離散固有値（固有値に対応）は摂動に対して連続的に変化し、有限個の固有値は摂動パラメータの滑らかな関数として解析接続可能であることが示され、微局所スペクトル理論が摂動的設定へと拡張される。

ABSTRACT

Given an Anosov vector field $X_0$, all sufficiently close vector fields also are of Anosov type. In this note, we check that one can choose the so-called "Faure-Sjöstrand" anistropic spaces to be adapted to any smooth vector field sufficiently close to $X_0$ in $C^1$ norm. It follows that finite families of resonances depend smoothly on the vector field with the usual caveats. In this second version, more details are given on the perturbation of spectral projectors.

研究の動機と目的

• Anosovフローの微局所スペクトル理論を、ベクトル場の摂動へと拡張するため、安定な非一様関数空間を構築すること。
• リーマン・ポリコフトスペクトル（リゾルベント核の極として定義）が、ベクトル場の小さな $ C^1 $-摂動下でも、右半平面内で離散的かつ適切に振る舞うことを示すこと。
• 有限個の固有値が、$ C^\infty $-滑らかな1パラメータ族 $ X_\epsilon $ の摂動パラメータに関して、連続的（非退化の場合滑らかに）に解析接続可能であることを確立すること。
• スペクトルデータの安定性に関する既存の文献におけるギャップを埋める、摂動理論のための厳密な微局所フレームワークを提供すること。

提案手法

• Anosovフローの安定・不安定分解を反映するように選ばれた符号 $ G \in S^{\log}(T^*M) $ を用いて、非一様空間 $ \mathcal{H}_G = \operatorname{Op}(e^{-G})L^2(M) $ を構築する。
• コスフェアバンドル上のハミルトニアンフロー $ \Phi_t $ を用いて、吸収源と発散源を定義し、それらがフローの微局所的構造を特徴づけ、$ G $ の選定を導く。
• リゾルベントの公式とトレースクラス推定を用いて、リゾルベントが摂動に依存する様子を制御し、$ \| \partial_\epsilon D(X_\epsilon, s) \|_{\operatorname{Tr}} $ の有界性を用いる。
• 複素平面におけるRouchéの定理を用いて、初期固有値の有限集合の近傍における固有値の個数と位置が、小さな摂動下でも一定のままであることを証明する。
• 固有状態の進化を追跡するため、スペクトル射影子 $ \Pi_\gamma(\epsilon) = \int_\gamma (X_\epsilon - s)^{-1} ds $ を用い、摂動パラメータに関して $ C^k $-正則性を示す。
• 作用素ノルムおよびトレースクラス推定を用いて、リゾルベントおよびその導関数の一様有界性を確立し、スペクトルデータの解析的および正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたAnosovベクトル場 $ X_0 $ に対して構築された非一様空間 $ \mathcal{H}_G $ は、$ C^1 $-位相における近傍のベクトル場 $ X $ に対しても適応可能か？
• RQ2 リゾルベント核の極として定義されるRuelle-Pollicottスペクトルが、$ X_0 $ の小さな $ C^1 $-摂動下でも、右半平面 $ \{ s \in \mathbb{C} \mid \Re s > -R \} $ 内で離散的のままであるか？
• RQ3 $ X_0 $ の有限個の固有値が、$ C^\infty $-滑らかな1パラメータ族 $ X_\epsilon $ の摂動パラメータに関して解析接続可能か？
• RQ4 有限個の固有値に対応するスペクトル射影子は摂動パラメータに関して連続微分可能か？ また、どのような正則性が確立可能か？
• RQ5 固定されたベクトル場でない摂動的設定へと、固有値のための微局所フレームワークを拡張可能か？

主な発見

• 任意の $ C^\infty $ Anosovベクトル場 $ X_0 $ に対して、$ \eta > 0 $ が存在し、$ \|X - X_0\|_{C^1} < \eta $ を満たすすべての $ C^\infty $ ベクトル場 $ X $ は、非一様空間 $ \mathcal{H}_G $ 上で $ \{ s \in \mathbb{C} \mid \Re s > -R \} $ 内に離散スペクトルを持つ。
• $ \mathcal{H}_G $ 上での $ X $ のスペクトルは $ G $ の選択に依存せず、$ X $ のRuelle-Pollicott固有値に正確に一致する。
• $ X_0 $ を摂動する $ C^\infty $-滑らかな1パラメータ族 $ X_\epsilon $ に対して、$ \epsilon_0 > 0 $ が存在し、$ \Omega \subset \mathbb{C} $ 内の $ \lambda_1(\epsilon), \dots, \lambda_N(\epsilon) $ は $ \epsilon \in ]-\epsilon_0, \epsilon_0[ $ に関して連続関数である。
• 固有値が単純である場合、それらは $ \epsilon $ に関して滑らかであり、その進化はリゾルベントおよびスペクトル射影子に従う。
• 初期固有値を避ける閉曲線 $ \gamma $ に対応するスペクトル射影子 $ \Pi_\gamma(\epsilon) $ は、十分大きな $ r $ に対して $ \mathcal{H}_{rG} $ 上の $ C^k $-家族の有界作用素であるため、スペクトル射影の正則性が保証される。
• リゾルベントおよびスペクトル射影子の導関数がトレースクラスであり、$ \epsilon $ に関して一様有界であることが示され、Rouchéの定理を用いて固有値の運動を追跡可能となる。