[論文レビュー] Flow rate-pressure drop relation for deformable channels via fluidic and elastic reciprocal theorems

Evgeniy Boyko, Howard A. Stone+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2022

Surface Modification and Superhydrophobicity参考文献 50被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、流体および弾性の逆定理を用いて、完全な流体構造連成問題を解かずに、変形可能なマイクロチャネル内の流量–圧力損失関係の閉形式表現を導出する。これは、微小変形およびキルヒホフ＝ラウブ板理論に従う薄い弾性上壁の下で有効である。圧力損失の低減効果（壁の柔軟性に起因）と側壁からの抵抗による圧力損失の増加効果のトレードオフが明らかになる。

ABSTRACT

Viscous flows through configurations manufactured from soft materials apply both pressure and shear stress at the solid-liquid interface, leading to deformation of the cross-section, which affects the flow rate-pressure drop relation. Conventionally, calculating this flow rate-pressure drop relation requires solving the complete elastohydrodynamic problem, which couples the fluid flow and elastic deformation. In this work, we use the reciprocal theorems for Stokes flow and linear elasticity to derive a closed-form expression for the flow rate-pressure drop relation in deformable channels, bypassing the detailed calculation of the solution to the fluid-structure-interaction problem. For small deformations (under a domain perturbation scheme), our theory provides the leading-order effect, of the interplay between the fluid stresses and the compliance of the channel, on the flow rate-pressure drop relation. Our approach uses solely the fluid flow solution and the elastic deformation due to the fluid stress distribution in an undeformed channel, eliminating the need to solve the coupled elastohydrodynamic problem. Unlike previous theoretical studies that neglected the presence of lateral sidewalls and considered shallow geometries of effectively infinite width, our approach allows to determine the influence of confining sidewalls on the flow rate-pressure drop relation. For the flow-rate-controlled situation and the plate-bending theory for the elastic deformation, we show a trade-off between the effect of compliance of the deforming top wall and the drag due to sidewalls on the pressure drop. While increased compliance decreases the pressure drop, the effect of the sidewalls increases it. Our theoretical framework may provide insight into existing experimental data and pave the way for the design of novel optimized soft microfluidic configurations of different cross-sectional shapes.

研究の動機と目的

• 完全な弾性流体力学的連成問題を解かずに、変形可能なマイクロチャネル内の流量–圧力損失関係の閉形式表現を導出すること。
• 従来の浅い、無限に広い幾何形状の仮定によって無視されていた、側壁の影響が流量–圧力損失関係に与える影響を考慮すること。
• ストークス流れと線形弾性のための逆定理が、ソフトマイクロ流体における流体構造連成問題に共同で適用可能であることを示すこと。
• 流量制御系において、壁の柔軟性（圧力損失を低減）と側壁からの抵抗（圧力損失を増加）の競合効果を定量化すること。
• 任意の断面形状を有するソフトマイクロ流体デバイスの最適化に適用可能な理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• ストークス流れのローレンツ逆定理と線形弾性のベッティ逆定理を用いて、流量と圧力損失の関係を導出する。
• 完全な連成問題を解かずに、元の形状のチャネルにおける流体流れの解と、流体応力による弾性変形を入力として用いる。
• 微小変形下での変形の一次効果を捉えるために、ドメイン摂動法を用いる。
• キルヒホフ＝ラウブ板曲げ理論に従う薄い変形可能な上壁を有する三次元長方形チャネルを対象とする。
• 剛体側壁、非圧縮性、定常、低レイノルズ数のニュートン流体の流れを仮定し、滑りなし境界条件を適用する。
• 流体の流れ場と元の形状における弾性応答に依存する、圧力損失の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な流体構造連成問題を解かずに、変形可能なマイクロチャネル内の流量–圧力損失関係をどのように導出できるか？
• RQ2 側壁の影響がソフトマイクロチャネル内の圧力損失に与える影響は何か？ また、壁の柔軟性の効果とどのように競合するか？
• RQ3 流体力学と弾性のための逆定理を併用することで、変形可能なチャネルにおけるq–∆p関係を導出可能か？
• RQ4 流量制御系において、上壁の柔軟性が圧力損失に与える影響は何か？
• RQ5 壁の柔軟性による圧力損失の低減と、側壁からの抵抗による圧力損失の増加の定量的トレードオフは何か？

主な発見

• 提案手法により、完全な連成問題を解かずに、流体の流れの解と元の形状における弾性変形のみを用いて、変形可能なマイクロチャネル内の流量–圧力損失関係の閉形式表現が得られる。
• 従来の浅い幾何形状の研究では無視されていた、側壁の圧力損失への影響が理論的に考慮されている。
• 流量制御系では、壁の柔軟性が圧力損失を低減するが、側壁からの抵抗がそれを上回る場合、圧力損失が増加する。この二つはトレードオフの関係にある。
• 逆定理を活用することで、完全な弾性流体力学的連成問題を解かずに済み、計算複雑性が著しく低減される。
• この枠組みは一般性を持ち、さまざまな断面形状のマイクロチャネルに適用可能であり、ソフトマイクロ流体デバイスの設計最適化を可能にする。
• 得られた結果は、既存のソフトマイクロ流体システムの実験データの解釈に理論的根拠を提供し、異なる剛性および幾何的制約下での挙動予測にも役立つ。