[論文レビュー] Floyd maps to the boundaries of relatively hyperbolic groups

Victor Gerasimov|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、相対的に双曲的群のFloyd完備化からBowditch境界への連続的かつG-不変なFloyd写像の存在を、単語距離の共形的スケーリング（適切な減衰率λ < 1）を用いて確立する。主な貢献は、このような群に対してFloyd距離が境界に誘導する位相がBowditchコンパクト化と位相的に同相であることを示したことである。これは、幾何的に有限なクライン群に対してFloydが得たオリジナルの結果を一般化するものである。

ABSTRACT

A continuous equivariant map from the Floyd boundary of a relatively hyperbolic group (RHG for short) to its Bowditch boundary is constructed. Such a map is unique unless the group is two-ended. In order to optimize the proof and the usage of the map theorem we propose two new definitions of relative hyperbolicity equivalent to the other known definitions. In our approach some "visibility" conditions in graphs are essential. We introduce a class of "visibility actions" that contains the class of relatively hyperbolic actions. The convergence property still holds for the visibility actions. We describe and make use a rather general construction of "attractor sum" of two actions of a locally compact group.

研究の動機と目的

• 幾何的に有限なクライン群に対するFloydの境界拡張結果を、相対的に双曲的群へ一般化すること。
• 相対的に双曲的群のFloyd完備化とBowditchコンパクト化の間の位相的対応を確立すること。
• 相対的に双曲的作用を一般化し、収束性を保つ新しいクラスの「可視性作用」を導入・利用すること。
• 境界上の力学と錐状極限集合を統合する「アトラクタ和」構成を定義・分析すること。これは、群の作用が収束性を有する単一のコンパクトハウスドルフ空間を提供する。
• 幾何的および力学的視点の間の翻訳を容易にするために、相対的双曲性の2つの新しい同等な定義（「細かい双曲性」および「3-適切かつ2-コンパクト」）を提供すること。

提案手法

• 0 < λ < 1 に対して f_n = λ^n というスケーリング関数を用いて、有限生成群G上のFloyd距離 δ_S,λ を定義する。
• 群Gが部分群の集合Pに関して相対的に双曲的であるとき、G → G の恒等写像がFloyd完備化 Fl_λG からGのBowditch完備化への連続的写像に拡張可能であるようなλが存在することを証明する。
• 収束性が特定の位相的条件下で保たれる「可視性作用」という概念を導入し、相対的に双曲的作用の一般化とする。
• Gがコンパクト空間Λ上で収束的に作用し、局所コンパクト空間Ω上で適切かつコンパクトに作用する2つの空間ΛとΩに対して、T = Λ ⊔ Ω という「アトラクタ和」を構成する。その結果、G作用が収束性を有するコンパクトハウスドルフ空間Tが得られる。
• アトラクタ和構成を用いて、Floyd境界とBowditch境界を共通の位相的枠組みで統合する。
• トポロジー的および幾何的翻訳技術を用いて、「細かい双曲性」（RH_fh）と「3-適切かつ2-コンパクト」（RH_32）の相対的双曲性の定義の同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的に双曲的群に対して、Floyd写像はFloyd完備化からBowditch境界へ連続的に拡張可能か？
• RQ2 2つの力学的空間のアトラクタ和構成において、群作用の収束性は保たれるか？
• RQ3 「細かい双曲性」と「3-適切かつ2-コンパクト」の相対的双曲性の定義は同等か？もし同等であれば、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 任意の有限生成群の、完全不連結コンパクト空間への収束作用は、2-コンパクト作用の逆極限として得られるか？
• RQ5 群のFreudenthal完備化は、完全不連結空間への収束作用の圏における初期対象か？

主な発見

• 任意の部分群の集合Pに関して相対的に双曲的群Gに対して、λ ∈ (0,1) が存在し、恒等写像 G → G がFloyd完備化 Fl_λG からGのBowditch完備化への連続的かつG-不変な写像に拡張可能である。
• 拡張写像のもとで、Floyd境界 ∂_fG はBowditch境界 ∂_BowditchG と位相的に同相である。これにより、位相的対応が確立される。
• アトラクタ和構成 T = Λ ⊔ Ω は、GがΩ上で適切かつコンパクトに作用し、Λ上で収束的に作用する限り、群作用が収束性を有するコンパクトハウスドルフ空間を提供する。
• 任意の有限生成群の、完全不連結コンパクト空間への収束作用は幾何的であり、2-コンパクト作用の逆極限として得られる。
• 有限生成群GのFreudenthal完備化 FrG におけるG作用は幾何的であり、2-コンパクト作用の逆極限に対応する。FrG は完全不連結空間への収束作用の圏における初期対象である。
• 「細かい双曲性」と「3-適切かつ2-コンパクト」の定義の同等性は、トポロジー的および力学的翻訳を用いて確立されたが、直接的な証明は非自明である。