[論文レビュー] FLRW solutions in $f(Q)$ theory: the effect of using different connections

N. Dimakis, A. Paliathanasis+2 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2022

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、FLRW計量の等長性と整合する4種類の対称的かつ平坦な接続を用いて、$f(Q)$重力におけるFriedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) 宇宙論を調査する。非計量性スカラー $Q$ を時間変数とみなすことにより、任意の $f(Q)$ に対して一般解を導出し、完全流体物質を伴う解と、べき乗型 $f(Q)$ に対する新規な真空中解を提示。$Q \neq$ 定数のとき、一般相対性理論を越えた力学的振る舞いが顕著に現れる。

ABSTRACT

We study a Friedmann-Lema\^ıtre-Robertson-Walker (FLRW) space-time in the theory of $f(Q)$-gravity, where $Q$ denotes the non-metricity scalar. It has been previously shown in the literature, that there exist four distinct families of connections, which are compatible with the isometries of the FLRW metric; three for the spatially flat case and one when the spatial curvature is present. In the spatially flat case, one connection is dynamically irrelevant and yields the dynamics of the coincident gauge in the Cartesian coordinates. For this, we obtain the general solution of an arbitrary $f(Q)$ theory with a perfect fluid matter content, and present various examples for specific choices of the $f(Q)$ function. We proceed by studying the effect of the rest of the connections, which are dynamical and affect the equations of the motion. We concentrate in scenarios that depart from the $Q=$const. case, which just reproduces General Relativity with a cosmological constant, and derive novel vacuum solutions for a power-law $f(Q)$ function.

研究の動機と目的

• FLRW宇宙論における対称的かつ平坦な接続の違いが $f(Q)$ 重力に与える影響を分析すること。特に、空間曲率および等長性と整合する接続に注目する。
• 共鳴ゲージを事前に仮定するのではなく、平坦な場合の3種類と曲がった空間部の1種類の合計4つの接続を体系的に分析することで、ゲージ選択の曖昧さを解消すること。
• 完全流体物質を伴う任意の $f(Q)$ 理論に対して一般解析解を導出すること。特に、座標依存性の問題を回避するため、$Q$ を時間変数として用いること。
• 非定数 $Q$ の場合に一般相対性理論と異なる力学的振る舞いを示すことを目的とし、$Q$ が定数でない場合に、一般相対性理論と定数項付きで等価でない動力学を実現すること。
• べき乗型 $f(Q)$ 関数に対して、非平坦な場合を含め、新規な真空中解を提示すること。また、複雑な方程式系を積分可能な形に簡略化すること。

提案手法

• FLRW計量の等長性と整合するすべての対称的かつ平坦な接続を特定・分類し、空間的に平坦な場合と曲がった場合に区別する。
• 非計量性スカラー $Q$ を独立変数の時間変数として採用し、力学的方程式を再パrametrization することで、系の簡略化と解析的積分の可能化を図る。
• 各接続クラスにおける $f(Q)$ 重力の場の方程式を導出し、$Q$ が接続の関数的形と計量にどのように依存するかを示す。
• 平坦な場合において、任意の $f(Q)$ と完全流体に対して方程式を解き、ある接続において関数 $\gamma(t)$ が力学に影響しない退化解が存在することを特定する。
• 2つの非退化接続に対して、べき乗型 $f(Q) = \alpha Q^n$ の一般真空中解を導出し、$Q \neq$ 定数のとき一般相対性理論とは異なる力学的振る舞いを示すことを確認する。
• 3番目の接続に対する力学系をアベル型微分方程式（第二種）に還元し、非可積分性にもかかわらず、さらなる解析が可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FLRW等長性と整合する異なる対称的かつ平坦な接続は、$f(Q)$ 重力における宇宙論的力学にどのように影響を与えるか？
• RQ2 非計量性スカラー $Q$ が時間変数として機能することで、任意の $f(Q)$ 理論の場の方程式の簡略化と解法にどのように寄与するか？
• RQ3 $f(Q)$ 重力における非定数 $Q$ 解は、定数項付き一般相対性理論と異なる力学的振る舞いを示すことができるか？
• RQ4 特に非平坦な FLRW 場合において、べき乗型 $f(Q)$ の真空中モデルに対して正確解または部分的に簡略化された解は存在するか？
• RQ5 共鳴ゲージにおける接続関数 $\gamma(t)$ の任意性が、非計量的理論における粒子運動および物理的観測量に与える影響は何か？

主な発見

• 空間的に平坦な場合、ある接続において $\gamma(t)$ 項が重力方程式に影響しない退化解が得られ、これはデカルト座標系における共鳴ゲージに一致する。
• 2つの力学的に活性な平坦接続に対して、べき乗型 $f(Q) = \alpha Q^n$ の一般真空中解が導出され、$Q \neq$ 定数のとき一般相対性理論とは異なる力学的振る舞いを示すことが明らかになった。
• 非平坦な場合、特別な解が得られ、ミルン宇宙に類似した（リーマン平坦な）解である。その解は $Q = \frac{24k\mu^{2}}{(1-2\mu)^{2}a_{0}^{2}}e^{\mp\frac{2\sqrt{-k}t}{2\mu-1}}$ で与えられ、$\mu \neq 1$ のとき有効である。
• 3番目の平坦接続に対する解は、アベル方程式（第二種）に還元され、非自明ではあるが解析可能な力学的振る舞いを示している。
• $\mu=1$ の極限（一般相対性理論の極限）においても、$\gamma(t) = \mp\sqrt{-k}$ でない限り、非計量性スカラー $Q$ は非定数のまま残り、一般相対性理論が通常の方法では回復されないことが示された。
• $Q$ を時間変数として用いる手法により、一般相対性理論の領域を越えた解が正しく生成された。$f(Q)$ 重力が標準モデルを超える豊かな宇宙論的力学を支持できることを確認した。