[論文レビュー] Fluctuation identities for omega-killed Markov additive processes and dividend problem

Irmina Czarna, Adam Kaszubowski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Probability and Risk Models参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、状態と環境に依存する2変数強度 $\omega(x,i)$ で指数的に殺滅されるスパクトラルに負のマーヴィン加法的過程（MAPs）に対して、一般化されたスケール行列 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ および $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ を導入する。$\omega$-殺滅MAPsに関するフラクチュエーション恒等式および解体方程式を確立し、古典的スケール行列理論をマーヴィン変調付きレヴィ過程へと拡張し、配当問題やリスク理論におけるオメガモデルへの応用を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we solve the exit problems for an one-sided Markov additive process (MAP) which is exponentially killed with a bivariate killing intensity $ω(\cdot,\cdot)$ dependent on the present level of the process and the present state of the environment. Moreover, we analyze respective resolvents. All identities are given in terms of new generalizations of classical scale matrices for the MAP. We also remark on a number of applications of the obtained identities to (controlled) insurance risk processes. In particular, we show that our results can be applied to the so-called Omega model, where bankruptcy occurs at rate $ω(\cdot,\cdot)$ when the surplus process becomes negative. Finally, we consider the Markov modulated Brownian motion (MMBM) and present the results for the particular choice of piecewise intensity function $ω(\cdot,\cdot)$.

研究の動機と目的

• 状態と環境に依存する殺滅強度 $\omega(x,i)$ を持つ $\omega$-殺滅下でのマーヴィン加法的過程（MAPs）における古典的スケール行列理論の一般化を図ること。
• 状態と環境に依存する殺滅強度を持つ $\omega$-殺滅MAPsについて、フラクチュエーション恒等式および解体方程式を導出することにより、レヴィ過程からの結果をマーヴィン変調付きフレームワークへと拡張すること。
• 制御されたリスク過程における最適配当問題および破産関連の抜出自問題を解くための理論的基盤を提供すること。
• 新規の $\omega$-スケール行列と、破産が負の純資産に対して強度 $\omega(x,i)$ で発生するオメガモデルとの関係を確立すること。
• 区分的定数 $\omega(x,i)$ を持つマーヴィン変調付きブラウン運動（MMBM）のケースを分析し、明示的解および数値的図示を提供すること。

提案手法

• 状態 $x$ と環境状態 $i$ に依存する指数的殺滅強度 $\omega(x,i)$ を持つスパクトラルに負のMAPsとして $\omega$-殺滅MAPsを定義する。
• $\omega$-スケール行列 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ および $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ を、殺滅強度と古典的スケール行列を含む積分方程式の解として導入する。
• 潜在測度および $\omega$-殺滅下での解体作用素を用いて、区間 $[d,c]$ からの抜出自問題に関するフラクチュエーション恒等式を導出する。
• 境界条件および極限挙動（$d \to -\infty$, $c \to \infty$）を確立し、グローバル恒等式および行列逆数を導出する。
• 優越収束定理および行列逆数技術を用いて、$\mathcal{W}^{(\omega)}$ および $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ の極限形を導出する。
• 区分的定数 $\omega(x,i)$ を指定することで、オメガモデルおよびMMBMにフレームワークを適用し、破産および配当関数の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レヴィ過程における古典的フラクチュエーション恒等式は、状態および環境に依存する殺滅を持つマーヴィン加法的過程へどのように拡張可能か？
• RQ2 一般化された $\omega$-スケール行列 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ および $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ の構造的性質および満たす積分方程式は何か？
• RQ3 $\omega$-スケール行列は、$\omega$-殺滅MAPsの潜在測度および解体作用素とどのように関係するか？
• RQ4 新規フレームワークは、最適配当問題およびオメガモデルにおける破産問題を解くために応用可能か？
• RQ5 区分的定数 $\omega(x,i)$ を持つマーヴィン変調付きブラウン運動のケースにおいて、$\omega$-スケール行列の明示的形および数値的挙動は何か？

主な発見

• $\omega$-スケール行列 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ および $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ は、殺滅強度 $\omega(x,i)$ と古典的スケール行列を含む積分方程式の解として定義される。
• $\omega$-殺滅MAPsのフラクチュエーション恒等式は、$\mathcal{W}^{(\omega)}$ および $\mathcal{Z}^{(\omega)}$ を用いて表現され、レヴィ過程からの古典的結果が一般化される。
• 定数 $\omega$ の場合、$\omega$-スケール行列は古典的スケール行列に還元され、先行研究と整合性が確認される。
• $\mathcal{W}^{(\omega)}(x,d)e^{-\mathbf{R}^{\beta}d}$ の $d \to -\infty$ における極限挙動が逆行列可能であることが示され、$\mathcal{H}^{(\omega)}(x)$ の構成が可能になる。
• オメガモデルにおける破産までに支払われる配当の価値関数は、$\omega$-スケール行列を用いて導出され、閉形式の解が得られる。
• 区分的定数 $\omega(x,i)$ を持つマーヴィン変調付きブラウン運動のケースにおいて、本稿は $\omega$-スケール行列および関連する破産確率について明示的表現および数値計算を提供する。