[論文レビュー] Fluctuation Relations in Stochastic Thermodynamics

Krzysztof Gawędzki|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、マコフ過程における一時的および定常的関係に注目した、確率的熱力学における揺動関係について包括的な紹介を提供する。これらは、時間反転測度と関連する基本的確率的双対性から導出され、非平衡系に応用され、第二法則、揺動-拡散定理、大偏差と関連する関係を明らかにする。主な結果として、JarzynskiとHatano-Sasaの等式が得られ、アクティブ回転子モデルにおける非平衡相転移に及ぼす影響が示される。

ABSTRACT

Fluctuation relations are identities, holding in non-equilibrium systems, that have attracted a lot of interest in the last 20 years. This is a series of 4 lectures discussing various aspects of such relations for stochastic equations modeling non-equilibrium processes.

研究の動機と目的

• 確率論者および数理物理学者にとって、数学的に厳密でありながらもアクセス可能な揺動関係の紹介を提供すること。
• マコフ過程における測度双対性と時間反転対称性の観点から、揺動関係の起源を明確にすること。
• 一時的揺動関係を有限時間過程における第二法則とLandauer原理と結びつけること。
• 揺動-拡散定理、特にGreen-Kuboの公式が、同じ確率的枠組みからどのように導かれるかを明らかにすること。
• マクロな揺動理論を用いて大偏差および定常揺動関係を分析し、アクティブ回転子モデルを用いて図示すること。

提案手法

• 時間反転と対合写像を介して関連する2つの確率測度を比較する恒等的関係から、揺動関係を導出する。
• 離散時間および連続時間のマコフ連鎖にこの枠組みを適用し、時間反転測度のRadon-Nikodym微分を計算する。
• Jarzynski-Crooks-Hatano-Sasaの恒等式を中心的な道具として用い、非定常過程における仕事の揺動に対して⟨exp(−W)⟩ = 1が成り立つことを示す。
• 平均場的相互作用を持つ回転子に対するFokker-Planck方程式に形式的枠組みを適用し、N→∞の極限で非線形Fokker-Planck方程式を導出する。
• 自己無撞着方程式と分岐理論を用いて定常解および周期的解を分析し、上昇的ピッチfork分岐およびホーフ分岐を特定する。
• ベッセル関数と積分方程式を用いて回転磁場の存在下での磁化を解き、βJ = 2で相転移が発生することを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マコフ過程における前向き測度と時間反転測度の双対性から、揺動関係はどのように生じるか？
• RQ2 確率的ダイナミクスにおいて、Jarzynskiの等式とEvans-Searlesの一時的揺動関係の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 揺動-拡散定理およびGreen-Kuboの公式は、同じ確率的枠組みからどのように導かれるか？
• RQ4 大偏差およびマクロな揺動理論は、非平衡系における定常揺動を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 外部駆動力（F > 0）と磁場（h）の間の相互作用は、アクティブ回転子モデルにおける動的相転移をどのように引き起こすか？

主な発見

• 非定常マコフ過程における仕事の揺動に対して、時間反転による測度双対性から⟨exp(−W)⟩ = 1の恒等式が成り立つことが示された。
• JarzynskiとHatano-Sasaの等式が、Radon-Nikodym微分に基づく一般揺動関係の特別な場合であることが明らかにされた。
• N→∞のアクティブ回転子モデルでは、βJ = 2で2次相転移が発生し、βJ ≤ 2では無秩序相、βJ > 2では秩序相となる。
• F > 0およびh = +0のとき、ホーフ分岐を介して安定な周期的解が出現し、動的相転移を示唆する。
• 相図には、サドルノード分岐とホーフ分岐が同時に発生するボガドノフ＝ターケン分岐を有する共存領域が存在する。
• ベッセル関数を含む自己無撞着方程式は、回転磁場の存在下での磁化を記述し、ヒステリシスおよび対称性の破れを示す解が得られた。