[論文レビュー] Fluctuation theory for level-dependent Lévy risk processes

Irmina Czarna, José Luis Pérez+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Probability and Risk Models被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、プロセスの現在の水準に依存するドリフトを有するレベル依存Lévyリスク過程のフラクチュエーション理論を展開する。多段階再屈折および一般のレベル依存Lévy過程に対してスケール関数を導入し、それらの導関数がボルテラ積分方程式を満たすことを示し、 ruin 確率や退出問題の明示的表現をこれらの関数を用いて可能にする。

ABSTRACT

A level-dependent Lévy process solves the stochastic differential equation $dU(t) = dX(t)-ϕ(U(t)) dt$, where $X$ is a spectrally negative Lévy process. A special case is a multi-refracted Lévy process with $ϕ_k(x)=\sum_{j=1}^kδ_j1_{\{x\geq b_j\}}$. A general rate function $ϕ$ that is non-decreasing and continuously differentiable is also considered. We discuss solutions of the above stochastic differential equation and investigate the so-called scale functions, which are counterparts of the scale functions from the theory of Lévy processes. We show how fluctuation identities for $U$ can be expressed via these scale functions. We demonstrate that the derivatives of the scale functions are solutions of Volterra integral equations.

研究の動機と目的

• 状態依存ドリフトを有するレベル依存Lévyリスク過程へのフラクチュエーション理論の拡張を図ること。
• 非減少かつ局所リプシッツ連続な $ \phi $ に対して、SDE $ dU(t) = dX(t) - \phi(U(t))\,dt $ の解の存在および一意性を確立すること。
• 多段階再屈折および一般のレベル依存ケースにおけるスケール関数 $ w^{(q)} $, $ z^{(q)} $ 及びその導関数の定義と特徴付けを行うこと。
• ruin 確率や退出分布などの主要なリスク指標を、これらのスケール関数を用いて表現すること。
• スケール関数の導関数が第二種ボルテラ積分方程式を満たすことを示すこと。

提案手法

• スペクトル的に負のLévy過程 $ X $ を用いて、レベル依存Lévy過程をSDE $ dU(t) = dX(t) - \phi(U(t))\,dt $ の解として形式化すること。
• 区分定数関数 $ \phi $ を持つ多段階再屈折過程に対して、再帰的積分方程式を用いてスケール関数 $ w_k^{(q)} $, $ z_k^{(q)} $ を定義すること。
• 多段階再屈折過程による近似を用いて、非減少かつ局所リプシッツ連続な $ \phi $ に対してSDEの解の存在および一意性を証明すること。
• スケール関数およびその導関数を用いて、フラクチュエーション恒等式（退出問題、解体作用素、ruin）を導出すること。
• スケール関数の導関数が第二種ボルテラ積分方程式を満たすことを確立すること。
• ラプラス変換および収束論を用いて一般の $ \phi $ における極限を正当化し、得られるスケール関数の連続性および可積分性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル依存ドリフトを有するLévyリスク過程へのフラクチュエーション理論は、どのように拡張可能か？
• RQ2 多段階再屈折Lévy過程のスケール関数は何か？ そして、ruin 確率や退出時刻とどのように関係するか？
• RQ3 スケール関数の導関数はどのように振る舞い、積分方程式によって特徴付けられるか？
• RQ4 区分定数ドリフト関数から、一般の非減少かつ局所リプシッツ連続ドリフト関数へ理論を拡張可能か？
• RQ5 プロセスの水準が無限大に近づく際のスケール関数の極限的性質は何か？

主な発見

• 多段階再屈折過程におけるスケール関数 $ w_k^{(q)} $ および $ z_k^{(q)} $ の導関数は、第二種ボルテラ積分方程式を満たす。
• 多段階再屈折ケースにおいて、スケール関数 $ w_k^{(q)}(\infty) $ は明示的に $ \frac{1 - \sum_{j=1}^k \delta_j w_{j-1}^{(q)}(b_j)}{\mathbb{E}[X(1)] - \sum_{j=1}^k \delta_j} $ として与えられる。
• 非減少かつ局所リプシッツ連続な $ \phi $ を持つ一般ケースでは、スケール関数 $ w^{(q)} $, $ z^{(q)} $ は近似用の多段階再屈折過程の極限として得られる。
• 一般スケール関数の導関数に対しても、第二種ボルテラ積分方程式が成立する。
• ruin 確率および退出分布は、スケール関数 $ w^{(q)} $ および $ z^{(q)} $ を用いて明示的に表現可能である。
• スケール関数の導関数 $ W^{(q)\prime} $ のラプラス変換は $ \int_0^\infty e^{-sx} W^{(q)\prime}(x)\,dx = \frac{s}{\psi(s) - q} - W^{(q)}(0) $ を満たし、収束証明において中心的な役割を果たす。