[論文レビュー] Fluctuations Of Linear Spectral Statistics Of Deformed Wigner Matrices

Sandrine Dallaporta, Maxime Février|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 52被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、確定的対角行列によって摂動されたWigner行列の線形スペクトル統計量におけるガウス型フラクチュエーションを確立する。自由確率論およびリゾルベントトレース解析を用いて、明示的なバイアス項と分散項を導出し、ガウス分布への収束を示す。この結果を非ガウス型のエントリへと拡張し、独立なGUE行列と確定的行列の間における漸近的無限小自由性を証明する。

ABSTRACT

We investigate the fluctuations of linear spectral statistics of a Wigner matrix $W\_N$ deformed by a deterministic diagonal perturbation $D\_N$, around a deterministic equivalent which can be expressed in terms of the free convolution between a semicircular distribution and the empirical spectral measure of $D\_N$. We obtain Gaussian fluctuations for test functions in $\mathcal{C}\_c^7(\mathbb{R})$ ($\mathcal{C}\_c^2(\mathbb{R})$ for fluctuations around the mean). Furthermore, we provide as a tool a general method inspired from Shcherbina and Johansson to extend the convergence of the bias if there is a bound on the bias of the trace of the resolvent of a random matrix. Finally, we state and prove an asymptotic infinitesimal freeness result for independent GUE matrices together with a family of deterministic matrices, generalizing the main result from [Shl18].

研究の動機と目的

• 確定的対角行列によって変形されたWigner行列の線形スペクトル統計量のフラクチュエーションを分析すること。
• 自由畳み込みおよびリゾルベントトレース技術を用いて、これらのフラクチュエーションのバイアスおよび分散の明示的表現を導出すること。
• ガウス型エントリにとどまらず、4次のモーメントが有限である一般のi.i.d.エントリへとフラクチュエーション結果を拡張すること。
• 独立なGUE行列と確定的行列の間における漸近的無限小自由性を確立すること。
• トレースフラクチュエーションのバインディングに基づいて、リゾルベントトレースバイアスの収束を拡張する一般的手法を提供すること。

提案手法

• 線形スペクトル統計量の分析に、スティルチェス変換およびリゾルベントトレースを用いる。
• 特に自由畳み込みを用いて、スペクトル測度の確定的同等物を表現する自由確率論的手法を適用する。
• ウィックの公式および非交差分割の組合せ的解析を用いて、GUE行列のモーメントを計算する。
• リゾルベントのトレースの漸近的展開を用いてバイアスおよび分散項を導出し、そのフラクチュエーションのバインディングを活用する。
• クレヴァラス補完写像および巡回置換を用いて、自由確率論における組合せ的構造と行列トレースを関連付ける。
• 行列組の$*$-分布を半円分布および確定的スペクトル測度の自由畳み込みと比較することで、漸近的無限小自由性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のi.i.d.エントリをもつ変形Wigner行列の線形スペクトル統計量の極限分布は何か？
• RQ2 これらの統計量のバイアスおよび分散は、エントリの4次のモーメントおよびテスト関数の正則性にどのように依存するか？
• RQ3 トレースフラクチュエーションの有界性仮定のもとで、リゾルベントトレースバイアスの収束を拡張できるか？
• RQ4 独立なGUE行列と確定的行列が、どのような条件下で漸近的に無限小自由になるか？
• RQ5 変形Wigner行列のスペクトル測度の確定的同等物の明確な形は何か？

主な発見

• テスト関数が$\mathcal{C}_{c}^{7}(\mathbb{R})$に属する場合、変形Wigner行列の線形スペクトル統計量は$N^{-1}$スケールのガウス型フラクチュエーションを示し、明示的なバイアスおよび分散を持つ。
• 極限分散$V_0(\varphi)$は半円分布のスティルチェス変換を用いて表現され、エントリの4次のモーメントに依存する項を含む。
• バイアス項$b_0(\varphi)$はスティルチェス変換の微分に依存し、エントリの分散プロファイルおよび過剰尖度（excess kurtosis）を組み込む。
• 本稿では、トレースフラクチュエーションの有界性仮定のもとで、リゾルベントトレースバイアスの収束を拡張する一般的手法を提供する。
• 独立なGUE行列と確定的行列族の間で、漸近的無限小自由性が成立し、関連する$*$-分布は、半円分布および確定的スペクトル測度の自由畳み込みに$O(N^{-2})$の誤差で収束する。
• 本結果は、シャービナの結果[Shl18]を一般化し、非ガウス型エントリおよびより一般の確定的行列族へと無限小自由性を拡張している。