[論文レビュー] Fluctuations of Omega-killed spectrally negative Lévy processes

Bo Li, Zbigniew Palmowski|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Probability and Risk Models参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、強度 ω(x) の状態依存的指数的殺滅を伴うスペクトラルに負の Lévy 迁移過程における抜去問題を解くために、一般化されたスケール関数、すなわち ω-スケール関数を導入する。マルコフ性、ポアソン過程の性質、フラクチュエーション理論を活用することで、滞在時間および解体作用素の閉形式表現が得られ、古典的結果が ω-殺滅過程へと拡張され、リスク理論および自己相似過程への応用が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we solve the exit problems for (reflected) spectrally negative Lévy processes, which are exponentially killed with a killing intensity dependent on the present state of the process and analyze respective resolvents. All identities are given in terms of new generalizations of scale functions. For the particular cases $ω(x)=q$ and $ω(x)=q \mathbf{1}_{(a,b)}(x)$, we obtain results for the classical exit problems and the Laplace transforms of the occupation times in a given interval, until first passage times, respectively. Our results can also be applied to find the bankruptcy probability in the so-called Omega model, where bankruptcy occurs at rate $ω(x)$ when the Lévy surplus process is at level $x<0$. Finally, we apply the these results to obtain some exit identities for a spectrally positive self-similar Markov processes. The main method throughout all the proofs relies on the classical fluctuation identities for Lévy processes, the Markov property and some basic properties of a Poisson process.

研究の動機と目的

• スペクトラルに負の Lévy 迁移過程に対する古典的フラクチュエーション恒等式を、強度 ω(x) の状態依存的殺滅の状況に一般化すること。
• 滞在時間のラプラス変換および抜去分布を特徴付ける新しいスケール関数のクラス、ω-スケール関数を構築すること。
• ω-殺滅の下での解体作用素および抜去恒等式に対して明示的な公式を提供し、リスク理論および一階通過問題における結果を拡張すること。
• 破産が負の順益状態で強度 ω(x) で発生するオメガモデルおよび自己相似マルコフ過程へのフレームワークの応用。
• ポアソン過程およびマルコフ性に基づく、ウィーナー＝ホプフ理論および可換路線の代替となる、新規な解析的手法の確立。

提案手法

• 古典的スケール関数 W(x) および殺滅強度 ω(x) を含むボルテラ積分方程式の解として、ω-スケール関数 W^(ω)(x) および Z^(ω)(x) を定義する。
• マルコフ性および非時定型ポアソン過程の性質を用いて、ω(X_t) による重み付けされた滞在時間のラプラス変換を導出する。
• ω-スケール関数を含む積分方程式を解くことにより、吸収および反射の両方のスペクトラルに負の Lévy 迁移過程に対する抜去恒等式を導出する。
• 境界条件を用いて正規化定数を特定することで、ω-殺滅過程の解体作用素の恒等式を積分方程式を解くことによって確立する。
• ω(x) = q（x < 0 のとき）と設定することで、オメガモデルに理論を適用し、破産確率の明示的表現を導出する。
• 時間変換技術および ω-スケール関数フレームワークを用いて、自己相似過程への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトラルに負の Lévy 迁移過程に対する古典的抜去問題は、強度 ω(x) の状態依存的殺滅を含む形にどのように一般化可能か？
• RQ2 ω-殺滅の下で、区間 [0,c] 内の滞在時間のラプラス変換は、最初の c を超える通過時までにどのように表されるか？
• RQ3 ω-スケール関数 W^(ω)(x) および Z^(ω)(x) は、状態依存的殺滅の下で古典的スケール関数をどのように一般化するか？
• RQ4 ω-殺滅を伴うスペクトラルに負の Lévy 迁移過程の解体作用素の構造はいかなるものか？
• RQ5 このフレームワークは、状態依存的破産強度を有するオメガモデルにおける破産確率を導出するために応用可能か？

主な発見

• ω-スケール関数 W^(ω)(x) および Z^(ω)(x) は、古典的スケール関数 W(x) および殺滅強度 ω(x) を含むボルテラ積分方程式の唯一の解として定義される。
• ω(x) = q（定数）のとき、ω-スケール関数は古典的スケール関数 W^(q)(x) および Z^(q)(x) に簡略化され、既知の二重側抜去恒等式が回復される。
• ω(x) = q·1_(a,b)(x) のとき、ω-スケール関数は W^(p)(x) を含む積分項による古典的スケール関数への補正として表現される。
• 最初の c を超える通過時までの [0,c] 内の滞在時間のラプラス変換は、E_x[exp(−∫₀^{τ_c^+} ω(X_t)dt); τ_c^+ < τ_0^−] = Z^(ω)(x)/Z^(ω)(c) × W^(ω)(c) − W^(ω)(x) で与えられ、明示的な積分表現を有する。
• ω-殺滅過程の解体作用素 L^(ω) は、L^(ω)f(x) = ∫₀^c f(y) [Z^(ω)(x)/Z^(ω)(c) × W^(ω)(c,y) − W^(ω)(x,y)] dy で特徴づけられ、W^(ω)(x,y) は ω-スケール関数を用いて定義される。
• このフレームワークにより、X_t < 0 のとき ω(x) = q で破算が発生するオメガモデルにおける破産確率の明示的表現が得られる。