[論文レビュー] Fluid dynamic limit of Boltzmann equation for granular hard--spheres in a nearly elastic regime

Ricardo J. Alonso, Bertrand Lods+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ほぼ弾性領域における非弾性硬球のボルツマン方程式から、自己整合的な力項を有する非圧縮性ナビエ＝ストークス＝フォーリエ系へのきめ細かな導出を実施する。自由冷却挙動を扱うために自己相似スケーリングを導入し、Knudsen数に基づく流体力学的極限を用いることで、マクロな変数にのみ依存する流体力学的極限への指数的安定性と収束性を確立した。これは、物理次元 d ≥ 2 における粉じんガスに対して、初めてのこのような導出である。

ABSTRACT

In this paper, we provide the first rigorous derivation of hydrodynamic equations from the Boltzmann equation for inelastic hard spheres with small inelasticity. The hydrodynamic system that we obtain is an incompressible Navier-Stokes-Fourier system with self-consistent forcing terms and is thus the first hydrodynamic system that properly describes rapid granular flows. To do that, we write our Boltzmann equation in nondimensional form introducing the dimensionless Knudsen number which is intended to tend to 0. The difficulties are then manyfold, the first one coming from the fact that the original Boltzmann equation is free-cooling and thus requires a self-similar change of variables to work with an equation that has an homogeneous steady state. The latter is not explicit and is heavy-tailed, which is a major obstacle to adapt energy estimates and spectral analysis. One of the main challenges here is to understand the relation between the restitution coefficient (which quantifies the loss of energy at the microscopic level) and the Knudsen number. This is done identifying the correct nearly elastic regime to capture nontrivial hydrodynamic behavior. We are then able to prove exponential stability uniformly with respect to the Knudsen number of the solution of our rescaled Boltzmann equation in a close to equilibrium regime. Finally, we prove that our solution to the Boltzmann equation converges in some very specific weak sense towards some hydrodynamic solution which depends on time and space variables only through macroscopic quantities. Such macroscopic quantities are solutions to a suitable modification of the incompressible Navier-Stokes-Fourier system which appears to be new in this context.

研究の動機と目的

• 微小な非弾性性の領域における粉じん硬球の非弾性ボルツマン方程式から流体力学的方程式を導出すること。
• 粉じんガスに内在する自由冷却挙動の課題を、自己相似スケーリングを導入することで均一な定常状態を達成することにより解決すること。
• Knudsen数がゼロに近づくほぼ弾性領域における流体力学的極限を確立し、非自明なマクロな動的挙動を捉えること。
• Knudsen数に関して一様に、近平衡状態における再スケーリングされたボルツマン方程式の解の指数的安定性を証明すること。
• 極限系が、d ≥ 2 に対して有効である自己整合的な力項を有する修正された非圧縮性ナビエ＝ストークス＝フォーリエ系として特定されること。

提案手法

• Knudsen数を次元なしの量として用い、これを流体力学的極限においてゼロに近づけることにより、非弾性ボルツマン方程式を再スケーリングする。
• 自由冷却の均一冷却状態を、重い尾を有する性質にもかかわらず、定常状態に変換するための自己相似変数を導入する。
• 弱い非弾性領域における線形化衝突演算子の制御のため、重み付きBanach空間におけるスペクトル解析とエネルギー推定を用いる。
• 平衡状態の周囲の摂動を制御するための非線形反復スキームを用い、流体力学的成分とその直交補空間の両方の推定を行う。
• 速度変数および空間変数を含む関数空間における弱-*極限を用いて、解のコンパクト性と収束性を確立する。
• 極限が、運動論的レベルから導かれた力項を有する修正された非圧縮性ナビエ＝ストークス＝フォーリエ系を満たすことを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ弾性領域における粉じん硬球の非弾性ボルツマン方程式から、流体力学的極限を厳密に導出することは可能か？
• RQ2 自己相似スケーリングを用いることで、粉じんガスの自由冷却挙動と流体力学的極限をどのように調和させられるか？
• RQ3 非自明な流体力学的挙動をもたらす正しいスケーリング領域とは何か—特に回復係数とKnudsen数との関係は？
• RQ4 極限流体力学系の構造は何か、そして古典的ナビエ＝ストークス＝フォーリエ系とはどのように異なるか？
• RQ5 近平衡状態における再スケーリングボルツマン方程式の解は、Knudsen数に関して一様に指数的安定性を示すか？

主な発見

• ほぼ弾性領域における粉じん硬球の非弾性ボルツマン方程式の流体力学的極限は、自己整合的な力項を有する非圧縮性ナビエ＝ストークス＝フォーリエ系に一致する。
• この文脈において、極限系は新規であり、運動論的定式化に整合する高速な粉じん流れを適切に記述する。
• 近平衡状態における再スケーリングボルツマン方程式の解の指数的安定性が、Knudsen数に関して一様に証明された。
• ボルツマン方程式の解は、マクロな変数にのみ依存する極限に弱い意味で収束し、その極限は修正されたナビエ＝ストークス＝フォーリエ系を満たす。
• 重み付き関数空間におけるコンパクト性と極限の同定を用い、線形化演算子の一様なリソルベント推定を確立することで収束を確立した。
• 解析により、重み付き $ L^1 $ および $ L^2 $ 空間上に $ C_0 $-半群が存在することを確認し、再スケーリングされた運動論的方程式の適切な定式化が保証された。