[論文レビュー] Fluid Dynamics on Noncommutative Space

Kai Ma|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正準ラグランジュ変数をオイラー変数に写像することにより、非可換空間上の流体力学の新規フレームワークを提案する。この写像は、無限粒子極限における有限粒子系との整合性を保証する。非可換ポアソン括弧を導出し、非可換補正がポテンシャルの微分に依存し、フリードマン方程式を修正することを示す。球対称な質量分布では回転対称性のため補正が消える。

ABSTRACT

We propose a new approach for studying the fluid dynamics on noncommutative space. Starting with the Poisson bracket for single particle, a map from canonical Lagrangian variables to Eulerian variables is constructed, and the map has been chosen such that, in the infinite limit, the Eulerian variables are consistent with the ones of a system with finite number of particles. This approach makes sure that both the kinematical and potential energies are taken into account correctly, and the equations of motion of the mass density and current density are naturally expressed into conservative form. Based on this, the noncommutative Poisson bracket is introduced, and the noncommutative algebra among Eulerian variables, as well as the noncommutative corrections on the equations of motion are obtained. We find that the noncommutative corrections are generally depend on the derivatives of potential under consideration. Furthermore, we find that the noncommutative algebra does modify the usual Friedmann equation, and the noncommutative corrections measure the symmetry properties of the density function $ ho(\vec{z})$ under rotation around the direction $\vec{ heta}$. This characterization results in vanishing corrections for spherically symmetric mass density distribution and potential.

研究の動機と目的

• 運動的およびポテンシャルエネルギー寄与を両方尊重する非可換空間上での流体力学の整合的定式化を構築すること。
• ラグランジュ変数から導かれるオイラー変数が、無限粒子極限で標準的な流体変数に収束することを保証すること。
• 非可換ポアソン括弧と、オイラー変数間の代数的構造を導出すること。
• 非可換性が古典的流体方程式、特にフリードマン方程式にどのように影響するかを調査すること。
• 非可換補正が質量密度関数の対称性特性にどのように依存するかを特定すること。

提案手法

• 正準ラグランジュ変数からオイラー変数への写像を構築し、無限粒子極限における有限粒子系との整合性を保証すること。
• 導出された写像に基づき、流体力学の構造を保つ非可換ポアソン括弧を定義すること。
• 非可換括弧を用いて、質量密度および電流密度の運動方程式を保存形で表現すること。
• オイラー変数間の非可換代数を導出し、標準的流体力学への補正を含めること。
• 非可換性がフリードマン方程式に与える影響を分析し、補正が密度関数の回転対称性と関連することを示すこと。
• 非可換補正が、考察中のポテンシャルの空間微分に依存することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動的およびポテンシャルエネルギー寄与を両方保つ非可換空間上での流体力学の整合的定式化は、どのように可能か？
• RQ2 この枠組みにおけるオイラー変数の非可換ポアソン括弧の構造は何か？
• RQ3 非可換補正は、質量および電流密度の運動方程式にどのように影響するか？
• RQ4 非可換代数はフリードマン方程式をどのように修正するのか。その補正の大きさは何かに依存するか？
• RQ5 なぜ球対称な質量密度分布では非可換補正が消えるのか？

主な発見

• 非可換流体力学への補正は、ポテンシャル関数の微分に明示的に依存する。
• オイラー変数間の非可換代数は、フリードマン方程式の修正を引き起こす。
• 非可換補正の大きさは、密度関数 ρ(𝑧) がベクトル θ の周りの回転に対して示す対称性特性に依存する。
• 球対称な質量密度分布では、回転不変性のため非可換補正が消える。
• ラグランジュ変数からオイラー変数への写像は、無限粒子極限における有限粒子系との整合性を保証する。
• 本提案フレームワーク内では、質量および電流密度の運動方程式が自然に保存形で表現される。