[論文レビュー] Flux Modularity, F-Theory, and Rational Models

Shamit Kachru, Richard Nally+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、F-theoryにおけるフラックスコン팩ティフィケーションとモジュラー形式の間の物理的メカニズムを、有理数上での楕円曲線を通じて確立する。$\mathbb{P}(1,1,2,2,2)$ 上のカルラヤ・3次元多様体へのIIBコンパクト化のF-theoryアップリフトを研究することで、一般の楕円曲線が$\mathbb{Q}$上に定義され、その関連するモジュラー形式が3次元多様体のゼータ関数に関連する重み2の固有形式と正確に一致することを示し、弦理論と数論の深い関係を解消する。

ABSTRACT

In recent work, we conjectured that Calabi-Yau threefolds defined over $\mathbb{Q}$ and admitting a supersymmetric flux compactification are modular, and associated to (the Tate twists of) weight-two cuspidal Hecke eigenforms. In this work, we will address two natural follow-up questions, of both a physical and mathematical nature, that are surprisingly closely related. First, in passing from a complex manifold to a rational variety, as we must do to study modularity, we are implicitly choosing a "rational model" for the threefold; how do different choices of rational model affect our results? Second, the same modular forms are associated to elliptic curves over $\mathbb{Q}$; are these elliptic curves found anywhere in the physical setup? By studying the F-theory uplift of the supersymmetric flux vacua found in the compactification of IIB string theory on (the mirror of) the Calabi-Yau hypersurface $X$ in $\mathbb{P}(1,1,2,2,2)$, we find a one-parameter family of elliptic curves whose associated eigenforms exactly match those associated to $X$. Actually, we find two such families, corresponding to two different choices of rational models for the same family of Calabi-Yaus.

研究の動機と目的

• カルラヤ・3次元多様体の異なる有理的モデルがフラックスコンパクト化におけるそのモジュラー性に与える影響を理解すること。
• カルラヤ・3次元多様体の$\mathbb{Q}$ 上のモジュラー形式が、物理的F-theory設定における有理楕円曲線から生じるかどうかを特定すること。
• F-theory幾何学を通じて、超対称フラックス真空とヘッケ固有形式を結ぶモジュラー性予想の物理的実現を確立すること。
• F-theoryアップリフトが、3次元多様体のモジュラー形式と一致する$j$-不変量を持つ楕円曲線の有理的モデルを自然に生成することを示すこと。

提案手法

• F-theoryアップリフトを、$\mathbb{P}(1,1,2,2,2)$ 内のカルラヤ超曲面の鏡像へのIIBフラックスコンパクト化に適用する。
• F-theory4次元多様体の周期を導出し、一般の楕円曲線が$\mathbb{Q}$上に定義された有理楕円曲線として特定する。
• フラックスコンパクト化から得られるモジュラーパラメータ$\tau_{\text{flux}}(\phi)$を、楕円曲線のレジェンドル族の$\tau$-パラメータと一致させる。
• 超幾何関数の恒等式を用いて、フラックスモデルの周期とレジェンドル族の周期を関連づけ、$j$-不変量の明示的計算を可能にする。
• 3次元多様体の複素構造モジュラス$\phi$とレジェンドル族の$\lambda$-パラメータの間の写像を、$\frac{1}{\phi^2} = \frac{4\lambda}{(\lambda+1)^2}$ により確立する。
• 得られた楕円曲線の$j$-不変量が、3次元多様体のゼータ関数に関連するモジュラー形式と一致することを検証し、モジュラー性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルラヤ・3次元多様体の異なる有理的モデルは、フラックスコンパクト化におけるその関連するモジュラー形式にどのように影響を与えるか？
• RQ2 $\mathbb{Q}$ 上のカルラヤ・3次元多様体に関連するモジュラー形式は、F-theoryにおける楕円曲線の$j$-不変量として物理的に実現可能か？
• RQ3 超対称フラックスコンパクト化のF-theoryアップリフトは、自然に、3次元多様体のモジュラー形式と一致する有理楕円曲線を生成するか？
• RQ4 3次元多様体の複素構造モジュラスと、F-theory幾何学における関連楕円曲線の$\lambda$-モジュラスとの間の明確な対応関係は何か？

主な発見

• F-theoryアップリフトにより、$\mathbb{P}(1,1,2,2,2)$ 内のカルラヤ・3次元多様体へのIIBフラックスコンパクト化は、$\mathbb{Q}$ 上に定義された1パラメータ族の楕円曲線を生成する。
• 同一のカルラヤ・3次元多様体に対する2つの異なる有理的モデルは、それぞれ対応する楕円曲線の2つの有理的モデルをもたらし、両方とも3次元多様体のモジュラー形式と一致する。
• F-theoryにおける一般の楕円曲線の$j$-不変量は、$j(\phi) = 64\frac{(4\phi^2 - 3)^3}{\phi^2 - 1}$ として得られ、3次元多様体のゼータ関数に関連するモジュラー形式と一致する。
• フラックスコンパクト化から得られるモジュラーパラメータ$\tau_{\text{flux}}(\phi)$が、$\tau_{\text{Legendre}}(\lambda) - 1$ に等しいことが示され、レジェンドル族の楕円曲線との対応関係が確認された。
• 超幾何周期関数が、変換$\frac{1}{\phi^2} = \frac{4\lambda}{(\lambda+1)^2}$ を介して、フラックスモデルの周期関数からレジェンドル族の周期関数へ正確に写像され、$j$-不変量の明示的計算が可能になった。
• 結果として、フラックスコンパクト化から得られるモジュラー形式が、F-theoryにおける有理楕円曲線の$j$-不変量として物理的に実現されることを確認し、モジュラー性の物理的メカニズムを提供した。