[論文レビュー] Flux Recovery and Superconvergence of Quadratic Immersed Interface Finite Elements

So‐Hsiang Chou, Champike Attanayake|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不連続な拡散係数を有する1次元界面問題に適用する2次埋め込み有限要素法のフラックス回復スキームを提示する。この手法は、吸収項が存在しない場合には両方の圧力およびフラックスにおいて端点および界面点で超収束を達成し、正確な回復（誤差ゼロ）を実現する。吸収項が存在する場合にはフラックス誤差が3次精度を示す。数値実験により確認された。

ABSTRACT

We introduce a flux recovery scheme for the computed solution of a quadratic immersed finite element method. The recovery is done at nodes and interface point first and by interpolation at the remaining points. We show that the end nodes are superconvergence points for both the primary variable $p$ and its flux $u$. Furthermore, in the case of piecewise constant diffusion coefficient without the absorption term the errors at end nodes and interface point in the approximation of $u$ and $p$ are zero. In the general case, flux error at end nodes and interface point is third order. Numerical results are provided to confirm the theory.

研究の動機と目的

• 追加のシステムを解くことなく、フラックスを高精度に近似可能な2次埋め込み有限要素解のためのフラックス回復スキームを開発すること。
• 端点および界面点における回復フラックスおよび圧力の超収束特性を調査すること。
• 回復フラックスに対して、連続的な第一基本定理の微分積分学的類似物（離散的保存則）を確立すること。
• さまざまなメッシュサイズおよび界面条件の下で理論的予測を数値実験により確認すること。

提案手法

• 要素区間における有限要素解の重み付き積分を用いてフラックス回復スキームを構築し、コンパクトな台を持つ試験関数および特定のノード値を活用する。
• 2次埋め込み有限要素形状関数を用いて界面を越える連続性およびジャンプ条件を満たし、弱形式と整合性を保つ。
• 部分積分およびジャンプ条件を用いた誤差解析により、重要な点における圧力およびフラックスの点ごとの誤差推定値を導出する。
• 吸収項 q(x) = 0 の場合、基礎となるガレルキン射影の正確性により、端点におけるフラックスおよび圧力の正確な回復が保証される。
• 離散的保存則が導出され、隣接するノードにおける回復フラックスの差が、要素内での源項の積分に等しいことが示される。
• 異なるメッシュサイズおよび多項式次数を用いた2つのベンチマーク問題を用いて数値的検証を実施し、ノードおよび界面点における誤差を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次埋め込み有限要素法に適したフラックス回復スキームを構築可能か。その場合、端点および界面点で超収束を達成できるか。
• RQ2 吸収項 q(x) が非ゼロである場合、端点および界面点におけるフラックス誤差の収束次数は何か。
• RQ3 回復フラックスは、連続的な第一基本定理の微分積分学的類似物に相当する離散的保存則を満たすか。
• RQ4 q(x) = 0 の場合、回復フラックスは端点および界面点で正確に一致するか。その場合の条件は何か。

主な発見

• q(x) = 0 の場合、端点および界面点におけるフラックス誤差は正確にゼロであり、フラックスの正確な回復が示された。
• 一般の場合、q(x) ≠ 0 の場合、端点および界面点におけるフラックス誤差は3次精度である。すなわち、O(h³) である。
• q(x) = 0 の場合、端点における圧力は超収束し、これらの点における誤差は正確にゼロである。
• 数値結果により、q(x) ≠ 0 の場合、端点および界面点におけるフラックス誤差の収束率がおおよそ O(h³) であることが確認された。
• 中点ノードおよび界面点における圧力の収束率は、q(x) = 0 の場合おおよそ O(h⁴) であり、q(x) ≠ 0 の場合には O(h²) である。これは理論的予測と一致する。
• 離散的保存則が成立する：uₕ(tᵢ) - uₕ(tᵢ₋₁) = ∫_{Iᵢ} f(x) dx。これは連続的な保存性と類似している。