[論文レビュー] Fluxbrane and S-brane solutions with polynomials related to rank-2 Lie algebras

I. S. Goncharenko, В. Д. Иващук+1 more|ArXiv.org|Dec 26, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ランク2のリー代数 $C_2$ および $G_2$ に関連する多項式モジュライ関数を有する高次元重力理論における明示的なフラックスブレーンおよびSブレーン解を提示する。アインシュタイン＝マクスウェル型方程式から導かれるトーダ型系を用いて、$C_2$ に対しては次数 (3,4)、$G_2$ に対しては次数 (6,10) の多項式関数 $H_s(z)$ を持つ正確な解が構成され、先行する予想が裏付けられ、3次元空間の加速膨張と有効重力定数の微小な変動を伴うモデルの構築が可能となる。

ABSTRACT

Composite fluxbrane and S-brane solutions for a wide class of intersection rules are considered. These solutions are defined on a product manifold R_{*} x M_1 x ... x M_n which contains n Ricci-flat spaces M_1, ..., M_n with 1-dimensional factor spaces R_{*} and M_1. They are determined up to a set of functions obeying non-linear differential equations equivalent to Toda-type equations with certain boundary conditions imposed. Exact solutions corresponding to configurations with two branes and intersections related to simple Lie algebras C_2 and G_2 are obtained. In these cases, the functions H_s(z), s =1,2, are polynomials of degrees (3, 4) and (6, 10), respectively, in agreement with a conjecture put forward previously in Ref., \cite{Iflux}. The S-brane solutions under consideration, for special choices of the parameters, may describe an accelerating expansion of our 3-dimensional space and a small enough variation of the effective gravitational constant.

研究の動機と目的

• ランク2のリー代数に関連する多項式モジュライ関数を有する高次元重力理論における正確なフラックスブレーンおよびSブレーン解の構成。
• 特定の境界条件を満たすトーダ型方程式の解が、半単純リー代数に対応する交差則に従う場合に多項式 $H_s(z)$ を与えるという予想の検証。
• $A_1\oplus A_1$ および $A_2$ に関する先行結果を、例外的リー代数 $C_2$ および $G_2$ に拡張し、新たな明示的解の提供。
• 特に、有効重力定数の微小な変動を伴う3次元空間の加速膨張を記述するSブレーン配置を用いた宇宙論的含意の探求。

提案手法

• 重力、スカラー場、およびスカラー場に指数関数的にカップルされた $N_a$-形式の場強度を含むD次元作用素がモデルを支配する。
• 解は $(0,\infty) \times M_1 \times \cdots \times M_n$ の積多様体上に定義され、$M_1$ は1次元で、$i \geq 2$ の $M_i$ はリッチ平坦である。計量成分は $z=\rho^2$ に依存する関数 $H_s(z)$ に依存する。
• 関数 $H_s(z)$ は、$\frac{d}{dz}\left(\frac{z}{H_s}\frac{d}{dz}H_s\right) = \frac{1}{4}B_s \prod_{s' \in S} H_{s'}^{-A_{ss'}}$ の形の2階非線形微分方程式系を満たし、これはトーダ型方程式と等価である。境界条件は $H_s(+0) = 1$ である。
• 準カルタン行列 $(A_{ss'})$ は、有限次元半単純リー代数のカルタン行列としてとられ、$A_{ss} = 2$ である。解は $H_s(z) = 1 + \sum_{k=1}^{n_s} P_s^{(k)} z^k$ の形の多項式として構成される。
• 係数 $P_s^{(k)}$ は、2通りの方法で計算された：シンボリックソフトウェア（MAPLE）を用いたマスタ方程式への直接代入、およびMATHEMATICAを用いた再帰関係の解析的導出。
• Sブレーン解は $w = -1$ に対応し、$\rho$-方向でユークリッド的符号型を示し、$\rho = 0$ で正則である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 参考文献[1]で予想されたように、リー代数 $C_2$ および $G_2$ に対して、境界条件 $H_s(+0) = 1$ を満たすトーダ型方程式の多項式解が存在するか？
• RQ2 $C_2$ および $G_2$ に対して、多項式モジュライ関数を有するフラックスブレーンおよびSブレーン解を明示的に構成可能か？その次数は？
• RQ3 これらの解は、3次元空間の加速膨張と有効重力定数の微小な変動を伴う宇宙論的構成を記述するか？
• RQ4 多項式 $H_s(z)$ の係数は、リー代数の構造定数および結合パラメータにどのように依存するか？
• RQ5 準カルタン行列は、多項式解の次数および関数的形を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• リー代数 $C_2$ に対して、モジュライ関数 $H_1(z)$ および $H_2(z)$ はそれぞれ次数3および4の多項式であり、トーダ系から明示的な係数が導出された。
• $G_2$ に対しては、関数 $H_1(z)$ および $H_2(z)$ はそれぞれ次数6および10の多項式であり、結合定数 $P_1$, $P_2$ の積と $1/129600$, $1/4665600$, $1/466560000$ などの有理数係数を含む。これは代数的構造を反映している。
• 解は、参考文献[1]の予想を裏付けた。すなわち、交差則が半単純リー代数に対応する場合、境界条件 $H_s(+0) = 1$ を満たす多項式解が存在し、次数 $n_s = 2\sum_{s'} A^{ss'}$ は2倍の双対ウェイルベクトル成分と一致する。
• $w = -1$ のSブレーン解は、$\rho = 0$ で正則な幾何を記述し、有効重力定数の微小な変動を伴う加速的3次元宇宙をモデル化可能である。
• 係数 $P_s^{(k)}$ の再帰関係は、マスタ方程式を級数展開することで解析的に導出され、高次の項を体系的に計算可能となった。
• シンボリック計算ツール（MAPLEおよびMATHEMATICA）の使用により、$G_2$ に対して次数10まで完全な多項式解が検証され、対応するトーダ型系と整合していることが確認された。