[論文レビュー] Fly-automata, model-checking and recognizability

Bruno Courcelle, Irène Durand|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、動的に計算される遷移と無限状態をとる有限状態機械であるfly-automataを導入し、有界クライク幅または木幅のグラフにおけるモノディック第二階理論（MSO）論理の認識可能性定理の実用的で概念的に単純な証明を提供する。主な貢献は、固定パラメータ可 tractable（FPT）モデルチェックと値計算を実装可能かつ効率的に可能にする新規なアプローチであり、MSOの性質の検証や、色分けや最小色クラスサイズといった解の数のカウントでさえ、MSOで表現できない複雑なグラフ性質に対しても有効である。

ABSTRACT

The Recognizability Theorem states that if a set of finite graphs is definable by a monadic second-order (MSO) sentence, then it is recognizable with respect to the graph algebra upon which the definition of clique-width is based. Recognizability is an algebraic notion, defined in terms of congruences that can also be formulated by means of finite automata on the terms that describe the considered graphs. This theorem entails that the verification of MSO graph properties, or equivalently, the model-checking problem for MSO logic over finite binary relational structures, is fixed-parameter tractable (FPT) for the parameter consisting of the formula that expresses the property and the clique-width (or the tree-width) of the input graph or structure. The corresponding algorithms can be implemented by means of fly-automata whose transitions are computed on the fly and not tabulated. We review two versions of recognizability, we present fly-automata by means of examples showing that they can also compute values attached to graphs. We show that fly-automata with infinite sets of states yield a simple proof of the strong version of the Recognizability Theorem. This proof has not been published previously.

研究の動機と目的

• 従来の複雑な構成を避け、fly-automataを用いて強認識可能性定理の新しい、より単純な証明を提供すること。
• Fly-automataが、有界クライク幅または木幅のグラフにおけるMSO論理の固定パラメータ可 tractable（FPT）モデルチェックを実装可能にできることを示すこと。
• MSOで定義可能な性質を超えた自動機ベースの手法の適用範囲を広げ、色数や最小色クラスサイズといった値の計算を可能にすること。
• 無限状態集合を有するfly-automataが、エッジ集合を含む正則性や連結性制約といった非MSO性質を検証できることを示すこと。
• 具体的なグラフ（グリッドやMcGeeグラフ）に対してアプローチを実装・実験的に検証し、既知の彩色多項式と照合することで正しさを確認すること。

提案手法

• Fly-automataは、状態を列挙するのではなく記号的に記述され、実行中に即時計算される遷移を有する。
• 構成には、不交和（⊕）、再ラベル（relab_{a→b}）、エッジ追加（add_{a,b}）などの操作を用いたグラフ代数の項が用いられる。
• 任意のMSO文書φに対して、クライク幅がk以下の項でφを満たすものを認識するfly-automaton A(φ,k)を構築し、状態は部分的代入と構造的情報を符号化する。
• 受容の他に、満たす代入の数（カウント）、スペクトル（Sp）、またはマルチスペクトル（MSp）といった値の計算も行う。
• A(φ,k)の構造を分析することで、認識可能性定理をfly-automataを用いて再導出する。定義可能な集合が項上の同値関係によって認識可能であることを示す。
• MSO₂論理への拡張には、木幅を保つインシデントグラフを用い、エッジ集合の量化を可能にすることで、ハミルトニアン性などの性質の検証が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fly-automataは、従来の手法よりも単純かつ実装可能な方法で認識可能性定理の証明を可能にするか？
• RQ2 標準的な自動機が構築に耐えられないほど巨大になる場合でも、Fly-automataは有界クライク幅または木幅のグラフにおけるMSO性質を効率的に検証できるか？
• RQ3 Fly-automataは、有界クライク幅のグラフに対して、k-彩色数や最小色クラスサイズといった値を計算できるか？
• RQ4 MSOで表現できないグラフ性質であっても、無限状態集合を有するfly-automataで検証可能か？
• RQ5 インシデントグラフを用いることで、MSO₂論理への拡張が可能となり、ハミルトニアン性のようなエッジ集合の性質の検証が可能になるか？

主な発見

• 認識可能性定理は、[6]の第5章の証明よりも単純な方法でfly-automataを用いて再証明され、結果へのアクセスが容易な新たな道筋を提供する。
• 無限状態を有するfly-automataは、MSOで表現できない性質（例：すべての頂点が同じ次数を持つ正則性）の検証も可能である。
• 20×20グリッドと6×60グリッドの3彩色数は、それぞれ35分および105分で検証され、自動機実装の正しさが裏付けられた。
• 24頂点、クライク幅≤8のMcGeeグラフは、fly-automataアプローチにより29分で非巡回的3彩色可能であると確認された。
• 本手法はカウントと最適化をサポートしており、k=3,4,5におけるk-彩色数が計算され、既知の彩色多項式と一致した。
• 元のグラフが有界木幅をもつ場合、インシデントグラフに変換することでMSO₂論理への拡張が可能となり、エッジ集合の性質のモデルチェックが可能になる。