[論文レビュー] Flying randomly in $\mathbb{R}^d$ with Dirichlet displacements

Alessandro De Gregorio, Enzo Orsingher|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2011

Diffusion and Search Dynamics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) におけるランダムフライトの新しいモデルを提案する。このモデルでは、方向は一様に分布し、ステップ長はディリクレ分布に従う。これにより、長年の課題であった$\mathbb{R}^3$における扱いにくい分布の問題を克服する。また、交換時間（スイッチ間隔）をディリクレ分布に仮定することで、すべての次元で明示的かつ等方的（isotropic）な確率密度関数 $h(\mathbf{x}_d) = A(c^2t^2 - \|\mathbf{x}_d\|^2)^b$ を得る。この形式は、すべての次元でピアソンの古典的問題を普遍的に解く。

ABSTRACT

Random flights in $\mathbb{R}^d,d\geq 2,$ with Dirichlet-distributed displacements and uniformly distributed orientation are analyzed. The explicit characteristic functions of the position $\underline{\bf X}_d(t),\,t>0,$ when the number of changes of direction is fixed are obtained. The probability distributions are derived by inverting the characteristic functions for all dimensions $d$ of $\mathbb{R}^d$ and many properties of the probabilistic structure of $\underline{\bf X}_d(t),t>0,$ are examined. If the number of changes of direction is randomized by means of a fractional Poisson process, we are able to obtain explicit distributions for $P\{\underline{\bf X}_d(t)\in d\underline{\bf x}_d\}$ for all $d\geq 2$. A Section is devoted to random flights in $\mathbb{R}^3$ where the general results are discussed. The existing literature is compared with the results of this paper where in our view the classical Pearson's problem of random flights is resolved by suitably randomizing the step lengths. The random flights where changes of direction are governed by a homogeneous Poisson process are analyzed and compared with the model of Dirichlet-distributed displacements of this work.

研究の動機と目的

• すべての次元 $d \geq 2$ に対して、従来$\mathbb{R}^3$ では明示的解が得られなかった古典的ピアソンのランダムフライト問題を解くこと。
• 指数分布に置き換える従来のモデルを一般化し、交換時間（スイッチ間隔）をディリクレ分布にすることで、解析的に取り扱える解を得ること。
• 固定された方向転換回数と確率的（ランダム）な方向転換回数の両方に対して、位置 $\mathbf{X}_d(t)$ の同時確率密度を導出すること。
• 導出された分布と $d$ 次元のトレーラー方程式（telegraph equation）との関係を確立し、確率過程と偏微分方程式を結びつけること。

提案手法

• 方向は一様分布、ステップ長は等方的になるようにパラメータ化されたディリクレ分布に従う$\mathbb{R}^d$ におけるランダムフライトのモデルを構築する。
• 方向転換回数 $n$ が固定された場合の $\mathbf{X}_d(t)$ の特性関数を、超球座標とベッセル関数を用いて導出する。
• 特性関数の逆変換により、すべての $d \geq 2$ およびすべての $n$ に対して、$h(\mathbf{x}_d) = A(c^2t^2 - \|\mathbf{x}_d\|^2)^b$ の形をした明示的確率密度関数を導出する。
• 分数階ポアソン過程を用いて方向転換回数を確率化し、$\mathbf{X}_d(t)$ の非条件分布を導出する。
• 高次元積分を評価するために、積分変換および特殊関数（ストルーヴ関数、ベッセル関数、ミットャグ・レフラー関数など）を適用する。
• 既知の$\mathbb{R}^2$ および $\mathbb{R}^4$ の結果と整合性を確認し、$\mathbb{R}^3$ におけるトレーラー過程をその周辺分布として得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステップ長を確定的からディリクレ分布に変更することで、$\mathbb{R}^3$ における古典的ピアソンのランダムフライト問題を明示的に解くことができるか？
• RQ2 交換時間（スイッチ間隔）をディリクレ分布にすることで、すべての次元 $d \geq 2$ において、位置密度の普遍的な等方的形が得られるか？
• RQ3 方向転換回数が分数階ポアソン過程によって確率化された場合、$\mathbb{R}^d$ における位置の非条件分布を導出できるか？
• RQ4 このモデルは $d$ 次元のトレーラー方程式とどのように関係しているか？ベッセル関数とストルーヴ関数は解においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 $\mathbb{R}^2$ および $\mathbb{R}^4$ で用いられる再帰的手法が、$\mathbb{R}^3$ において偶数 $n$ の場合に不適切であるのはなぜか？代替的手法により閉形式解が得られるか？

主な発見

• 本稿では、すべての $d \geq 2$ およびすべての $n$ に対して、$h(\mathbf{x}_d) = A(c^2t^2 - \|\mathbf{x}_d\|^2)^b$ の形をした明示的かつ等方的確率密度関数を導出する。ここで $b$ は $n$ と $d$ に依存し、$A$ は正規化定数である。
• $\mathbb{R}^3$ では、実数直線への射影の周辺分布が古典的トレーラー過程 $T(t)$ と一致し、既知の結果と整合することが確認された。
• 方向転換回数を分数階ポアソン過程で確率化した場合、すべての $d \geq 2$ に対して、$\mathbf{X}_d(t)$ の非条件分布 $P\{\mathbf{X}_d(t) \in d\mathbf{x}_d\}$ が明示的に得られる。
• $\mathbb{R}^3$ において $N(t) = 2$ の場合、閉形式で $P\{\mathbf{U}_3(t) \in d\mathbf{u}_3|N(t)=2\} = \frac{1}{\pi(2ct)^2 \|\mathbf{u}_3\|} \log\left(\frac{ct + \|\mathbf{u}_3\|}{ct - \|\mathbf{u}_3\|}\right) \prod_{j=1}^3 du_j$ が得られ、$\|\mathbf{u}_3\| \leq ct$ の範囲で成り立つ。これは先行研究と一致する。
• 著者らは、$h(\mathbf{x}_d) = A(c^2t^2 - \|\mathbf{x}_d\|^2)^b$ の形をした関数が $d$ 次元のトレーラー方程式の解であることを示した。これにより、確率的運動と偏微分方程式が結びつけられた。
• 従来の研究では $\mathbb{R}^2$ および $\mathbb{R}^4$ のみに明示的分布が得られていたが、本モデルはすべての $d \geq 2$ に対して普遍的な解を提供する。