[論文レビュー] Fock-Sobolev spaces and their Carleson measures

Hongrae Cho, Kehe Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Fock空間 $F^p$ に属する $m$ 階導関数を持つ整関数の集合として Fock-Sobolev 空間 $F^{p,m}$ を定義し、$f \in F^{p,m}$ であるための必要十分条件が $z^m f(z) \in F^p$ であることを確立している。主な貢献は、$F^{p,m}$ に対する Carleson 測度の完全な特徴付けに加え、重み付き Fock 射影の有界性、双対性、複素補間に関する結果を、$|z|^{2m}e^{-|z|^2}$ を重みとする積分ペアリングを通じた $F^{p,m}$ と $F^{q,m}$ 間の中心的双対性によって統一的に扱ったことにある。

ABSTRACT

We consider the Fock-Sobolev space $F^{p,m}$ consisting of entire functions $f$ such that $f^{(m)}$, the $m$-th order derivative of $f$, is in the Fock space $F^p$. We show that an entire function $f$ is in $F^{p,m}$ if and only if the function $z^mf(z)$ is in $F^p$. We also characterize the Carleson measures for the spaces $F^{p,m}$, establish the boundedness of the weighted Fock projection on appropriate $L^p$ spaces, identify the Banach dual of $F^{p,m}$, and compute the complex interpolation space between two $F^{p,m}$ spaces.

研究の動機と目的

• Fock-Sobolev 空間 $F^{p,m}$ を、$m$ 階導関数が Fock 空間 $F^p$ に属する整関数の集合として定義し、それらを研究すること。
• Fock-Sobolev 空間 $F^{p,m}$ に対する Carleson 測度を、ユークリッド円板の測度の成長条件を用いて特徴付けること。
• $1 \leq p \leq \infty$ の範囲で、$L^p_m$ 空間上での重み付き Fock 射影 $Q_m$ の有界性を確立すること。
• $1 \leq p < \infty$ の場合に $F^{p,m}$ のバナッハ双対を $F^{q,m}$ として、$0 < p < 1$ の場合に $F^{\infty,m}$ として特定すること。この双対性は、特定の積分ペアリングを用いてなされる。
• $F^{p_0,m}$ と $F^{p_1,m}$ の間の複素補間空間を計算し、$[F^{p_0,m}, F^{p_1,m}]_\theta = F^{p,m}$ が成り立つことを示すこと。ここで $1/p = (1-\theta)/p_0 + \theta/p_1$ である。

提案手法

• 整関数および微分作用素の性質を用いて、$f^{(m)} \in F^p$ であるような整関数 $f$ の空間として $F^{p,m}$ を定義し、$f \in F^{p,m}$ であることと $z^m f(z) \in F^p$ であることが同値であることを証明する。
• 正のボレル測度 $\mu$ が $F^{p,m}$ の Carleson 測度であるための必要十分条件を、すべての $z \in \mathbb{C}$ および固定された $r > 0$ に対して $\mu(B(z,r)) \leq C(1+|z|)^{mp}$ が成り立つこととして特徴付ける。これにより、測度の成長と関数空間のノルムの関係が明確にされる。
• $1 \leq p \leq \infty$ の範囲で、$L^p_m$ から $F^{p,m}$ への重み付き Fock 射影 $Q_m$ の有界性を、補間および双対性の技法を用いて確立する。
• 積分ペアリング $\langle f,g \rangle = \int_{\mathbb{C}} f(z) \overline{g(z)} e^{-|z|^2} |z|^{2m} dA(z)$ を用いて、$1 \leq p < \infty$ の場合に $F^{p,m}$ の双対空間が $F^{q,m}$ に等長同型であることを示し、$0 < p < 1$ の場合には $F^{\infty,m}$ に等長同型であることを示す。この結果は Hahn-Banach の定理および $L^p_m$ 空間における双対性に基づく。
• 複素補間理論を適用し、$[L^{p_0}_m, L^{p_1}_m]_\theta = L^p_m$ および $Q_m$ の有界性を用いて、$F^{p_0,m}$ と $F^{p_1,m}$ の複素補間空間 $[F^{p_0,m}, F^{p_1,m}]_\theta$ が $F^{p,m}$ に一致することを示す。ここで $1/p = (1-\theta)/p_0 + \theta/p_1$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fock-Sobolev 空間 $F^{p,m}$ に対する Carleson 測度の正確な特徴付けは何か？
• RQ2 $f \in F^{p,m}$ であるという条件は、$z^m f(z)$ が $F^p$ で可積分であるという条件とどのように関係するか？
• RQ3 $1 \leq p < \infty$ および $0 < p < 1$ の場合に $F^{p,m}$ の双対空間は何か？ そして、積分ペアリングを用いてどのように特定されるか？
• RQ4 $1 \leq p \leq \infty$ のすべての $p$ に対して、重み付き Fock 射影 $Q_m$ は $L^p_m$ 上で有界であるか？ また、この有界性は $F^{p,m}$ の構造とどのように関係するか？
• RQ5 $F^{p_0,m}$ と $F^{p_1,m}$ の間の複素補間空間は何か？ そして、$F^{p,m}$ とどのように関係するか？

主な発見

• 整関数 $f$ が $F^{p,m}$ に属するための必要十分条件は、$z^m f(z) \in F^p$ であることである。これは、Sobolev 型ノルムと重み付き $F^p$ ノルムの間の根本的な同等性を示している。
• 正のボレル測度 $\mu$ が $F^{p,m}$ の Carleson 測度であるための必要十分条件は、すべての $z \in \mathbb{C}$ および固定された $r > 0$ に対して $\mu(B(z,r)) \leq C(1+|z|)^{mp}$ が成り立つことである。これは、測度の減衰に関する鋭い成長条件を提供する。
• $1 \leq p \leq \infty$ のすべての $p$ に対して、重み付き Fock 射影 $Q_m$ は $L^p_m$ から $F^{p,m}$ への有界作用素である。これにより、$F^{p,m}$ が $L^p_m$ の補完部分空間であることが保証される。
• $1 \leq p < \infty$ の場合、$F^{p,m}$ のバナッハ双対は、積分ペアリング $\langle f,g \rangle = \int_{\mathbb{C}} f(z) \overline{g(z)} e^{-|z|^2} |z|^{2m} dA(z)$ を用いて $F^{q,m}$ に等長同型に同定される。$0 < p < 1$ の場合には $F^{\infty,m}$ に等長同型に同定される。これにより、すべての場合において双対性が確立される。
• $F^{p_0,m}$ と $F^{p_1,m}$ の間の複素補間空間は $F^{p,m}$ に一致する。ここで $1/p = (1-\theta)/p_0 + \theta/p_1$ である。これは、族 $\{F^{p,m}\}$ が複素補間に関して良好に振る舞うことを示している。