[論文レビュー] Foldy-Wouthuysen transformation and a quasiparaxial approximation scheme for the scalar wave theory of light beams

Sameen Ahmed Khan, R. Jagannathan+1 more|ArXiv.org|Sep 22, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、非一様な媒質における屈折率の小さな変動を有する準軸的光ビームのハミルトニアン記述を導出するために、フォールディ＝ウーツイゼン（FW）反復対角化技法をヘルムホルツ方程式に適用する。従来の平方根の級数展開とは異なり、FW法は、追加の交換子項 $\frac{i\bar{\lambda}}{16n_0^3}\left[\hat{\mathbf{p}}_\perp^2, \frac{\partial\varepsilon}{\partial z}\right]$ を含むエルミート光ハミルトニアンを生成する。この項は、非可換な演算子から自然に生じ、古典的準軸的近似を補正する。

ABSTRACT

The Foldy-Wouthuysen iterative diagonalization technique is applied to the Helmholtz equation to obtain a Hamiltonian description of the propagation of a monochromatic quasiparaxial light beam through a system in which the refractive index $n(x,y,z)$ varies about a background value $n_0$ such that $|n(x,y,z)-n_0| \ll n_0$. This technique is presented as an alternative to the conventional method of series expansion of the radical. Besides reproducing all the traditional quasiparaxial terms, this method leads to additional terms in the optical Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 準軸的ビームの光学ハミルトニアンにおける平方根の標準的級数展開の代替を提供すること。
• ハミルトニアン形式において非可換な演算子 $n^2(\mathbf{r})$ と $\hat{\mathbf{p}}_\perp^2$ の取り扱いの課題に対処すること。
• 非可換項の任意の対称化や順序付けを必要としないエルミート光ハミルトニアンを導出すること。
• 演算子順序付けに起因する、ビーム伝搬ハミルトニアンにおける新たな量子的補正項を同定すること。

提案手法

• ディラック理論に於いて当初開発されたフォールディ＝ウーツイゼン反復対角化手順を、スカラー波動光学におけるヘルムホルツ方程式に適用する。
• 光学ハミルトニアンを $\hat{H} = -\left(n^2(\mathbf{r}) - \hat{\mathbf{p}}_\perp^2\right)^{1/2}$ とみなし、小パラメータ $1/n_0$ においてFW変換を適用して対角化する。
• 変換されたハミルトニアンを $1/n_0$ に関して2次まで展開し、$\mathcal{O}(1/n_0^5)$ の項まで保持して高次補正を捉える。
• 有効ハミルトニアン $\hat{\mathcal{H}}$ を $1/n_0$ の級数として導出し、$\partial\varepsilon/\partial z$ を含む新たな交換子項を含む。
• 追加の対称化手順を必要とせず、構成上エルミート性を保証する。
• FWによって得られたハミルトニアンと標準的級数展開を比較し、従来の手法に存在しない新規項を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォールディ＝ウーツイゼン変換は、スカラー光ビームの標準的準軸的ハミルトニアンをどのように修正するか？
• RQ2 非可換な演算子 $\hat{\mathbf{p}}_\perp^2$ と $n^2(\mathbf{r})$ がFW対角化を経て取り扱われる際、光学ハミルトニアンにどのような新規項が生じるか？
• RQ3 FW法は、非可換項の明示的対称化を要せず、エルミート光ハミルトニアンを生成できるか？
• RQ4 ビーム伝搬の文脈において、交換子項 $\frac{i\bar{\lambda}}{16n_0^3}\left[\hat{\mathbf{p}}_\perp^2, \frac{\partial\varepsilon}{\partial z}\right]$ の物理的意味は何か？
• RQ5 収束性および物理的解釈の観点から、FWに基づく近似は、従来のべき級数展開と比較してどのように異なるか？

主な発見

• フォールディ＝ウーツイゼン法は、非可換演算子の追加的対称化を要せず、エルミート光ハミルトニアンを生成する。
• 1次まで $1/n_0$ の項は、従来の理論と整合することを確認した。
• 2次近似において、追加の補正項 $\frac{i\bar{\lambda}}{16n_0^3}\left[\hat{\mathbf{p}}_\perp^2, \frac{\partial\varepsilon}{\partial z}\right]$ が自然に出現する。
• この交換子項は、標準的級数展開に存在せず、$\hat{\mathbf{p}}_\perp^2$ と $\partial\varepsilon/\partial z$ の非可換性に起因する。
• この項は、最低次の項においても古典的準軸的ハミルトニアンに補正を加えるため、古典的光学における量子的効果を示唆する。
• FWアプローチは、高次補正の体系的フレームワークを提供し、従来の級数展開よりも収束性に優れる可能性がある。