[論文レビュー] Foliated group actions and cyclic cohomology

Moulay-Tahar Benameur|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、葉方向に保存される等長写像を伴うfoliation（葉層構造）に対して、不変の横断的カレントとK理論のペアリングを可能にするために、等長的循環コホモロジーを導入する。主な貢献は、このような対称性を有するコンパクトな葉層多様体に対して、明確に定義されたLefschetz公式を確立することにある。

ABSTRACT

We prove a cyclic Lefschetz formula for foliations. To this end, we define a notion of equivariant cyclic cohomology and show that its expected pairing with K-theory is well defined. This enables to associate to any invariant transverse current on a compact foliated manifold, a Lefschetz formula for leafwise preserving isometries.

研究の動機と目的

• 葉層多様体上の群作用の文脈における循環コホモロジーの枠組みを構築すること。
• K理論ペアリングと整合するように、等長的循環コホモロジーを定義すること。
• コンパクトな葉層多様体上の葉方向に保存される等長写像に対してLefschetz公式を確立すること。
• 循環コホモロジー的手法を用いて、横断的カレントを力学的不変量に関連付けること。
• 古典的Lefschetz理論を、非可換的かつ葉層的な設定に一般化すること。

提案手法

• 葉層多様体上の群作用に適した、等長的循環コホモロジーの概念を導入すること。
• 与えられた幾何的制約のもとで、等長的循環コホモロジー類とK理論とのペアリングが適切に定義されることを保証すること。
• 葉方向の等長写像に関して不変な横断的カレントを、Lefschetz公式の入力として用いること。
• 葉層的設定における循環コホモロジーとK理論の双対性を活用して、循環Lefschetz公式を構成すること。
• 群が葉層構造を保存する作用のもとで、公式が不変であることを保証すること。
• コンパクトな葉層多様体にこの枠組みを適用し、グローバルな位相的不変量を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 循環コホモロジーは、葉層多様体上の群作用を含めるようにどのように拡張可能か？
• RQ2 等長的設定において、循環コホモロジーとK理論のペアリングが適切に定義されるための条件は何か？
• RQ3 循環コホモロジー的ツールを用いて、葉方向に保存される等長写像に対してLefschetz公式を導出可能か？
• RQ4 葉層的対称性の文脈において、横断的カレントは力学的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 葉層的設定における、得られたLefschetz公式の位相的意味は何か？

主な発見

• 本稿は、K理論とのペアリングが適切に定義されるように、等長的循環コホモロジーを明確に定義した。
• 葉方向に保存される等長写像を備えたコンパクトな葉層多様体に対して、循環Lefschetz公式が確立された。
• 公式は、循環コホモロジー的双対性を介して、不変な横断的カレントを力学的不変量に関連付ける。
• 構成は群作用に関して不変であり、葉層構造を保存する。
• この枠組みは、非可換的かつ葉層的な設定への古典的Lefschetz理論の一般化を実現した。
• 結果として得られた手法は、循環コホモロジーを用いた葉層空間上の力学系の研究に新たなツールを提供する。