[論文レビュー] Foliated groupoids and their infinitesimal data

Madeleine Jotz, Cristián Ortiz|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、源が単連結なリー群コアの上での乗法的foliationと、そのリー代数の上でのIM-foliationの間の一対一対応を、代数のコアによる商に導入された平坦な部分接続を用いて確立する。乗法的foliationの無限小的データは、商代数への平坦な接続に符号化されており、群コアと代数の構造の古典的対応を一般化する。

ABSTRACT

In this work, we study Lie groupoids equipped with multiplicative foliations and the corresponding infinitesimal data. We determine the infinitesimal counterpart of a multiplicative foliation in terms of its core and sides together with a partial connection satisfying special properties, giving rise to the concept of IM-foliation on a Lie algebroid. The main result of this paper shows that if $G$ is a source simply connected Lie groupoid with Lie algebroid $A$, then there exists a one-to-one correspondence between multiplicative foliations on $G$ and IM-foliations on the Lie algebroid $A$.

研究の動機と目的

• 乗法的foliationの無限小的データに基づいて、リー群コア上の乗法的foliationを特徴づけること。
• 乗法的foliationのリー代数的対応を、リー代数上のIM-foliationとして同定すること。
• 源が単連結なリー群コア上の乗法的foliationと、そのリー代数上のIM-foliationの間の一対一対応を確立すること。
• 乗法的foliationの完備性が、代数のコアによる商に導入された平坦な部分接続に符号化されることを示すこと。
• 接続データを用いて、乗法的foliationのリー代数の明示的無限小再構成を提供すること。

提案手法

• 群コアの構造を接続群コアに持ち上げるために接続関手を用い、乗法的foliationのリー代数を接続代数 $TA$ の部分代数に同定する。
• 乗法的foliation $F_G \subseteq TG$ のコア $F_c \subseteq A$ と単位 $F_M \subseteq TM$ を定義し、両者が完備な部分バンドルであることを示す。
• foliated群コアのボット接続によって誘導される、商 $A/F_c$ 上の平坦な部分 $F_M$-接続 $\nabla$ を構成する。
• foliation $F_G$ のリー代数が、$TA$ における $F_M$ への制限と同型であり、そのセクションが $\nabla$-適合セクションによって決定されることを示す。
• foliation $F_G$ の完備性が、接続とコアに関する平坦性および適合条件と同値であることを証明する。
• 線形ベクトル場の下での部分バンドルのフロー不変性を用いて、接続が無限小レベルでのfoliated構造を保存することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群コア上の乗法的foliationの無限小的対応物は何か？
• RQ2 乗法的foliationのリー代数は、そのコアと接続データからどのように再構成できるか？
• RQ3 乗法的部分バンドル $F_G \subseteq TG$ がいつ完備になるか？
• RQ4 部分接続の平坦性が、乗法的foliationを特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 源が単連結なリー群コア上の乗法的foliationと、そのリー代数上のIM-foliationの間に一対一対応が存在するか？

主な発見

• 源が単連結なリー群コア $G$ 上の乗法的foliationと、そのリー代数 $A$ 上のIM-foliationの間には一対一対応が存在する。
• 乗法的foliationの無限小的データは、$F_c$ をfoliationのコアとして、商 $A/F_c$ 上の平坦な部分接続 $\nabla$ に符号化される。
• 乗法的foliation $F_G$ のリー代数は、$TA$ における $F_M$ への制限と同型であり、$\nabla$-適合リフトによって決定されるセクションによって特徴づけられる。
• foliation $F_G$ の完備性は、商 $A/F_c$ 上に誘導された部分接続 $\nabla$ の平坦性と同値である。
• コア $F_c \subseteq A$ はリー部分代数であり、単位 $F_M \subseteq TM$ は完備な部分バンドルをなす。両者とも乗法的foliation構造の成立に不可欠である。
• 本構成は、リー群上の乗法的分布に関する古典的結果を、リー群コアとリー代数の対応を介して、より広い設定に一般化する。