[論文レビュー] Foliated manifolds, algebraic K-theory, and a secondary invariant

Ulrich Bunke|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、部分的に平坦なベクトル束を備えた奇数次元で安定フレームを持つ葉付き多様体に対して、微分K理論またはスペクトル不変量を用いて定義される $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$-値の2次不変量を導入する。主な結果は、滑らかな関数の代数的K理論から連結K理論へのレギュレータ写像（$\mathbb{C}/\mathbb{Z}$係数を伴う）への関係を示す公式を確立し、古典的な不変量（アダムズの $e$-不変量やゴドビロン＝ベークラス）を一つの枠組みで統一する。

ABSTRACT

We introduce a $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$-valued invariant of a foliated manifold with a stable framing and with a partially flat vector bundle. This invariant can be expressed in terms of integration in differential $K$-theory, or alternatively, in terms of $η$-invariants of Dirac operators and local correction terms. Initially, the construction of the element in $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ involves additional choices. But if the codimension of the foliation is sufficiently small, then this element is independent of these choices and therefore an invariant of the data listed above. We show that the invariant comprises various classical invariants like Adams' $e$-invariant, the $ρ$-invariant of twisted Dirac operators, or the Godbillon-Vey invariant from foliation theory. Using methods from differential cohomology theory we construct a regulator map from the algebraic $K$-theory of smooth functions on a manifold to its connective $K$-theory with $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ coefficients. Our main result is a formula for the invariant in terms of this regulator and integration in algebraic and topological $K$-theory.

研究の動機と目的

• 葉付き多様体に安定フレームと部分的に平坦な束を備えた $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$-値の新しい不変量を定義し、余次元の制約下で幾何的選択に依存しないものとする。
• この不変量と葉付き多様体の底空間上の滑らかな関数の代数的K理論との深い関係を確立する。
• アダムズの $e$-不変量、$\rho$-不変量、ゴドビロン＝ベー.cls といった古典的不変量を、一つのコhomological枠組みで統一する。
• 代数的K理論から $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ 係数を伴う連結K理論へのレギュレータ写像を構成し、微分K理論における積分と整合することを示す。

提案手法

• 不変量は微分複素K理論 $\widehat{KU}^*$ における積分を用いて構成され、曲率および接続のデータを通じて幾何的実現が与えられる。
• 別表現として、ねじれ付きディラック作用素の $\eta$-不変量と、トランスグレッションされた特徴類形式を含む補正項で与えられる。
• 本稿では、代数的K理論から $\mathbf{ku}\mathbb{C}/\mathbb{Z}^{-p-1}(X)$ へのレギュレータ写像 $\mathrm{reg}_X: K_p(C^\infty(X)) \to \mathbf{ku}\mathbb{C}/\mathbb{Z}^{-p-1}(X)$ を定義する。
• 代数的K理論と位相的K理論との関係を示すリーマン・ローチ型の図式を用い、微分の修正を伴って主公式を証明する。
• 不変量が補助的な選択（計量、接続の拡張）に依存しないことは、$2\mathrm{codim}(\mathcal{F}) < \dim(M)$ のときに正確に成立することが示される。
• 不変量は、レギュレータ写像と連結K理論における積分の合成として解釈され、$\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ に値をとるクラスを生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定フレームと部分的に平坦な束を備えた葉付き多様体に対して、幾何的選択に依存しない2次不変量をどのように定義できるか。
• RQ2 この不変量と葉付き多様体の底空間上の滑らかな関数の代数的K理論との正確な関係は何か。
• RQ3 この不変量がアダムズの $e$-不変量、$\rho$-不変量、ゴドビロン＝ベー.cls を統一する方法は何か。
• RQ4 代数的K理論から $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ 係数を伴う連結K理論へのレギュレータ写像を構成し、不変量を表現するために使用できるか。
• RQ5 どのような位相的条件下で、不変量が補助的な幾何的データに依存しなくなるか。

主な発見

• 不変量 $\rho(M,\mathcal{F},\nabla^I,s) \in \mathbb{C}/\mathbb{Z}$ は、$2\mathrm{codim}(\mathcal{F}) < \dim(M)$ のときに限り、幾何的選択に依存せず、well-defined に定義される。
• 不変量は二通りの同等な記述を持つ：微分K理論における積分による記述と、$\eta$-不変量およびトランスグレッションされた特徴類形式による記述。
• 主な結果は、不変量を $\rho(M,\mathcal{F},\nabla^I,s) = \pi_!^o(\mathrm{reg}_X(f^{o_s}_!( [V,\nabla^I]^{\mathrm{alg}} )))$ と表現し、代数的K理論およびレギュレータ写像と関連付ける。
• 不変量は、アダムズの $e$-不変量、平坦束の $\rho$-不変量、ゴドビロン＝ベー.cls を特別な場合として含む。
• レギュレータ写像 $\mathrm{reg}_X$ は、$C^\infty(X)$ の代数的K理論から $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ 係数を伴う連結K理論への自然変換として構成される。
• 形 $(P \times X, T_{\mathbb{C}}P \boxplus \{0\})$ の葉付き多様体の場合、不変量は $C^\infty(X)$ の代数的K理論を経由して因子化され、余次元条件がwell-definedであることを保証する。