[論文レビュー] Foliation by Constant Mean Curvature Spheres on Asymptotically Flat Manifolds

Rugang Ye|ArXiv.org|Sep 25, 1997

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、非ゼロの質量をもつ次元 $ n+1 \geq 3 $ の漸近的に平坦な多様体上に、一定平均曲率（CMC）球面による滑らかで正則なfoliationの存在と一意性を確立する。線形化されたCMC方程式における核の退化を解消するための移動中心の摂動技法を用いて、無限遠でバランスが取れており正則なfoliationを構成した。これは弱いバランスと正則性条件によって一意に特徴づけられ、一般相対性理論における漸近的に平坦な空間に対して標準的な幾何的構造を提供する。

ABSTRACT

In this paper, the existence and uniqueness of foliations by constant mean curvature spheres on asymptotically flat manifolds of nonzero ADM mass in all dimensions were established. (A similar result in the case of positive mass was obtained independently by G. Huisken and S. T. Yau, see the introduction of this paper and their paper in Inv. Math.)

研究の動機と目的

• 非ゼロ質量をもつ漸近的に平坦な多様体上に、標準的で幾何的に自然な一定平均曲率球面によるfoliationを構成すること。
• 漸近座標におけるユークリッド球面を摂動する際の線形化CMC方程式における核の退化問題を解決すること。
• 従来の安定性に基づく一意性を超えて、弱いバランスと正則性条件の下でこのようなfoliationの一意性を確立すること。
• 座標系に依存しない、漸近的に平坦な端の幾何的特徴づけを提供し、質量を幾何的不変量とするようにすること。
• foliationが囲む領域によって、宇宙の「中心」を標準的に定義し、時空幾何の幾何的理解を深めること。

提案手法

• 線形化CMC作用素における退化を解消するために、中心の移動を伴う摂動法を適用し、中心のずれを法線方向の摂動とバランスさせる。
• 漸近座標を用いて無限遠近傍の多様体をモデル化し、回転球面上の法線グラフとしてCMC球面を構成する。
• 無限遠での挙動を分析するためにスケーリング変換を導入し、第二基本形式が一様に有界であることを保証する。
• 事前推定と収束議論を用いて、摂動された球面のサイズと位置、特に中心の挙動を制御する。
• 核の問題を中心の移動によって解消した後、陰関数定理の技法を用いて、小さな摂動に対して解の存在を保証する。
• 射影作用素を用いてグラフ関数の核成分を除去し、foliationの一意性と正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ質量をもつ漸近的に平坦な多様体上に、滑らかで正則な一定平均曲率球面によるfoliationを構成できるか？
• RQ2 弱いバランスと正則性といった自然な幾何的条件下で、このようなfoliationは一意的か？
• RQ3 漸近座標におけるユークリッド球面を摂動する際、線形化CMC方程式における退化はどのように克服できるか？
• RQ4 foliationを漸近座標系に依存しない内挿的に特徴づけられ、質量を幾何的不変量とすることができるか？
• RQ5 他のfoliationが存在しないのを防ぐ幾何的制約は何か？弱いバランスと正則性条件は、それらをどのように制御するか？

主な発見

• 次元 $ n+1 \geq 3 $ の非ゼロ質量をもつ漸近的に平坦な多様体の各端に、滑らかで codimension-one のfoliationが存在し、その各葉が一定平均曲率球面である。
• foliationは無限遠でバランスが取れており、その葉が固定された点を中心とする測地線球面に漸近的に近づく。
• foliationは無限遠で正則であり、スケーリングされた第二基本形式が一様に有界である。
• これは、このような端において、弱いバランスと正則性を満たす $ C^2 $ の一定平均曲率超曲面によるfoliationとして一意である。
• 次元3の場合、弱いバランスより弱い条件である直径ピンチングfoliationに対しても一意性が拡張される。
• foliationは、座標系に依存しない標準的な幾何的構造を提供し、ADM質量を幾何的不変量として定義する。