[論文レビュー] Foliations and Rational Connectedness in Positive Characteristic

Mingmin Shen|ArXiv.org|Jun 4, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正標数における自由に有理的連結（FRC）な多様体の概念を導入し、このような多様体が分離的有理的連結（SRC）な多様体へ有限の純粋非分離的準同型をもって写像可能であることを証明する。葉層理論と形式近傍解析を用いて、一般化された Graber-Harris-Starr の定理を確立し、FRC 多様体が単連結であることを示す。これにより、正標数における有理的連結性と分離的有理的連結性の間の主要な相違点が解消される。

ABSTRACT

In this paper, the technique of foliations in characteristic $p$ is used to investigate the difference between rational connectedness and separable rational connectedness in positive characteristic. The notion of being freely rationally connected is defined; a variety is freely rationally connected if a general pair of points can be connected by a free rational curve. It is proved that a freely rationally connected variety admits a finite purely inseparable morphism to a separably rationally connected variety. As an application, a generalized Graber-Harris-Starr type theorem in positive characteristic is proved; namely, if a family of varieties over a smooth curve has the property that its geometric generic fiber is normal and freely rationally connected, then it has a rational section after some Frobenius twisting. We also show that a freely rationally connected variety is simply connected.

研究の動機と目的

• 正標数における有理的連結性と分離的有理的連結性の違いを明確化すること。
• 自由に有理的連結（FRC）な多様体という新しいクラスを定義し、その性質を研究すること。
• すべての FRC 多様体が、SRC 多様体へ有限の純粋非分離的準同型をもって写像可能であることを証明すること。
• FRC ファミリーに対する正標数版の Graber-Harris-Starr の定理を確立すること。
• 正標数における固有かつ正規な FRC 多様体が単連結であることを拡張して示すこと。

提案手法

• X 上の自由な有理的曲線を用いて、TX の部分層 D ⊂ TX を自然に定義する。この D はリー括弧および正標数における p 乗作用に関して閉じている。
• 葉層 D による商準同型 X → Y を定義し、Y が X から引き継ぐ分離的非退化有理的被覆性または FRC 構造を持つことを示す。
• 自由な有理的曲線の形式近傍を解析し、商の手続きが SRC に到達しない場合の挙動を制御する。
• 非終了条件を用いて、形式近傍上の全域正則関数がべき級数環をなすことを示す。
• 繰り返し商の構成を適用することで、有限ステップで FRC 多様体を SRC 多様体に還元できることを示す。
• 得られた SRC 商を用いて、Frobenius のねじれを施したファミリーにおいて、有理的切断の存在を、基底変換および de Jong–Starr の既知の結果を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数において、自由に有理的連結であることは分離的有理的連結を意味するか。そうでない場合、そのギャップは何か。
• RQ2 FRC 多様体から SRC 多様体への有限の純粋非分離的準同型を構成できるか。
• RQ3 自由な有理的曲線の形式近傍が、商の手続きを制御する役割を果たすのはどのようなものか。
• RQ4 曲線上へのファミリーとして与えられた FRC 多様体の族は、Frobenius のねじれを施した後、有理的切断を持つだろうか。
• RQ5 正標数における固有かつ正規な FRC 多様体は単連結であろうか。

主な発見

• 代数閉体を標数正の代数的閉体とするとき、すべての自由に有理的連結多様体は、分離的有理的連結多様体へ有限の純粋非分離的準同型をもって写像可能である。
• 元の多様体が FRC である限り、葉層による商の手続きは有限ステップで終了し、SRC 多様体に到達する。
• 正標数における一般化された Graber-Harris-Starr の定理が成り立つ：曲線上へのファミリーの幾何的一般ファイバーが正規かつ FRC であるならば、適切な Frobenius のねじれを施した後、有理的切断が存在する。
• 正標数における固有かつ正規な FRC 多様体の代数的基本群は自明である。すなわち、このような多様体は単連結である。
• FRC 多様体上に存在する自由な有理的曲線の形式近傍の全域正則関数は、商の手続きが SRC に到達しない場合、べき級数環をなす。