[論文レビュー] Foliations on complex projective surfaces

Marco Brunella|ArXiv.org|Dec 5, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、カウダラ次元と正則バンドルの性質に注目し、オルビフォールド理論的アプローチを用いて、複素射影的表面におけるfoliationの体系的分類を提供する。McQuillanの枠組みをBrunellaらの補足を加えて拡張し、特にK3面およびトーラス面を含むケーラー面におけるfoliationが、いずれもリッカティ型、湍流型、または群商によるKronecker foliationに由来するKummer foliationであることを示している。

ABSTRACT

These are lecture notes of a course given in Pisa, SNS, in february 2002. They provide a classification of holomorphic foliations of nongeneral type on compact Kaehler surfaces.

研究の動機と目的

• 複素射影的表面における正則foliationを、カウダラ次元によって分類し、McQuillanの基礎的業績を拡張すること。
• 特に巡回商特異点を伴う場合に、オルビフォールド的視点から古典的結果を再定式化すること。
• ケーラー非射影的コンパクト表面、特にトーラス面およびK3面に対して、正則バンドルとケーラー計量の分析を通じて分類を拡張すること。
• K3面上で、正則バンドル $K_{\cal F}$ が擬効果的である場合、そのバンドルは数的に自明でなければならないこと、かつKronecker foliationの商として生じることを示すこと。
• ケーラー面上のすべてのfoliationが、表面の代数的次元に応じて、湍流型、Kummer型、または正則（Kronecker）型foliationのいずれかに分類されることを確立すること。

提案手法

• 巡回商特異点を持つ表面におけるfoliationを定義するため、オルビフォールド枠組みを用い、正則バンドル $K_{\cal F}$ を $\mathbb{Q}$-バンドルとして扱う。
• 表面の正則バンドルとfoliationの正則・余接バンドルとの関係を表す恒等式 $K_X = K_{\cal F} \otimes N_{\cal F}^*$ を適用する。
• K3面上の $\mathbb{Q}$-バンドルにZariski分解を適用し、$K_{\cal F} = P + N$ と書く。ここで $P$ は擬効果的で、$N$ は除去可能かつ有効な部分を持つ。
• Yauの定理によるK3面上の接続バンドルの半安定性を用い、すべてのケーラー形式 $\omega$ に対して $c_1(K_{\cal F}) \cdot [\omega] \geq 0$ が成り立つことを導く。
• K3面上で $L \cdot L \geq 0$ かつ $h^0(L) \leq 1$ を満たすのは自明バンドルのみであるという事実を用い、$P$ が数的に自明であることを示す。
• $K_{{\cal F}^\prime}$ が正則的に自明になるような有限エタール被覆 $Y \to X'$ を構成し、$Y$ がトーラスであり、$\cal F$ がKummer foliationであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影的表面におけるfoliationの分類を、カウダラ次元を用いて体系的に整理するにはどうすればよいか？
• RQ2 オルビフォールド構造は、巡回商特異点を伴う表面へのfoliation理論の拡張において、どのような役割を果たすか？
• RQ3 特にK3面およびトーラス面を含む、コンパクトケーラー非射影的表面におけるfoliationの可能なタイプは何か？
• RQ4 K3面上の $K_{\cal F}$ の擬効果性は、foliationの幾何にどのような制約をもたらすか？
• RQ5 代数的次元が自明なケーラー面上のすべてのfoliationが、Kronecker foliationの商として実現可能か？

主な発見

• 代数的次元が1のケーラー非射影的面上で、楕円ファイブレーションに横断するfoliationは湍流型であり、その分類が可能である。
• トーラス面上では、曲線が存在しないため、唯一の可能なfoliationは定ベクトル場によって生成されるKronecker foliationである。
• K3面上では、有限の基本変更の後で、正則バンドル $K_{\cal F}$ は数的に自明でなければならない。これは $K_{\cal F}^{\otimes n} \cong \mathcal{O}_X(E)$ を満たすある有効除集合 $E$ が存在することを意味する。
• K3面上で $P \cdot P \geq 0$ かつ $h^0(P) \leq 1$ を満たす唯一の $\mathbb{Q}$-バンドル $P$ は自明バンドルであり、$P$ が数的に自明であることが強制される。
• Zariski分解における負の部分の台を収縮した後、foliationは表面 $X'$ の有限エタール被覆 $Y$ に引き上げられ、このとき $Y$ はトーラスであり、引き戻しfoliationはKronecker型である。
• したがって、K3面上のすべてのfoliationはKummer foliationとして生じる——つまり、有限巡回群によるKronecker foliationの商として——、完全な分類が得られる。