[論文レビュー] Foliations on quaternion CR-submanifolds

Stere Ianuş, Adrian M. Ionescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、クaternionケーラー多様体内のクォータニオンCR部分多様体における標準的foliationの幾何学を調査し、全実分布 $D^\perp$ が全測地的またはリーマン的foliationを誘導する条件に注目する。主な貢献はクォータニオン空間形式におけるQR積の特徴付けである：$D$-測地的かつルールドな部分多様体が、曲率 $c$ のリーマン空間形式と曲率 $c/4$ の実空間形式のリーマン積に局所等長的に同型であるQR積である。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the canonical foliations of a quaternion CR-submanifold of a quaternion Kähler manifold.

研究の動機と目的

• クォータニオンケーラー多様体内のクォータニオンCR部分多様体における標準的foliation（特に全実分布 $D^\perp$ に関連する $\mathfrak{F}^\perp$）を研究すること。
• $\mathfrak{F}^\perp$ が全測地的またはリーマン的であるための必要十分条件を特定すること。
• クォータニオン空間形式におけるQR積を特徴付け、測地的かつルールドな部分多様体構造と関連付けること。
• クォータニオンCR部分多様体がクォータニオン部分多様体と全実部分多様体のリーマン積に分解されるための幾何的条件を確立すること。
• クォータニオン空間形式の文脈において、foliation $\mathfrak{F}$ および $\mathfrak{F}^\perp$ の葉の曲率性質を導出すること。

提案手法

• アーベルト多様体 $\overline{M}(c)$ の曲率と部分多様体 $M$ の内在的曲率との関係を、ガウスおよびヴェインガルテンの公式を用いて関係づける。
• ガウス方程式を適用して、$\overline{M}$ の曲率テンソル $\overline{R}$ を第二基本形式 $B$ および $M$ 上の誘導曲率 $R$ を含む成分に分解する。
• $D$-ガウスおよび $D^\perp$-ガウス方程式を分析して、分布 $D$ および $D^\perp$ からの曲率寄与を分離する。
• $D$-測地的および $D^\perp$-測地的条件を用いて、誘導曲率テンソルをそれぞれの分布の曲率テンソルと等置する。
• クォータニオン空間形式の曲率公式（式4）を用いて、$\mathfrak{F}$ および $\mathfrak{F}^\perp$ の葉の法曲率を計算する。
• ルールド部分多様体の概念および混合測地的条件を適用して、$M$ がQR積であるための必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオンCR部分多様体上で、$D^\perp$ に関連するfoliation $\mathfrak{F}^\perp$ が全測地的となる条件は何か？
• RQ2 foliation $\mathfrak{F}^\perp$ がリーマン的であるのはいつか？ また、これにより第二基本形式 $B$ にどのような幾何的制約が課されるか？
• RQ3 クォータニオン空間形式 $\overline{M}(c)$ 内のQR積は、$D$ および $D^\perp$ の幾何学的性質に関してどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $\mathfrak{F}$ および $\mathfrak{F}^\perp$ の葉の曲率性質は、周囲の曲率 $c$ とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathfrak{F}^\perp$ に関して $D$-測地的かつルールドな部分多様体は、必ずQR積であるか？

主な発見

• foliation $\mathfrak{F}^\perp$ がバンドル的計量のもとで全測地的であることは、$M$ が混合測地的であり、かつ任意の $U,V \in \Gamma(D)$ および $(1,2,3)$ の偶置換 $(\alpha,\beta,\gamma)$ に対して $B(U,J_\alpha V) + B(V,J_\alpha U) \in J_\beta(D^\perp) \oplus J_\gamma(D^\perp)$ であることに同値である。
• クォータニオン空間形式 $\overline{M}(c)$ 内の $D$-測地的かつルールドな部分多様体は、$L \times L^\perp$ に局所等長的に同型なQR積である。
• $\mathfrak{F}^\perp$ の葉は、ガウス方程式およびクォータニオン空間形式の曲率公式から導かれるように、一定の法曲率 $\frac{c}{4}$ を持つ。
• $\mathfrak{F}$ の葉は、単位ベクトル場 $X' \in \Gamma(D)$ に対して $g(R^D(X',J_\alpha X')J_\alpha X',X') = c$ を評価することで、一定のクォータニオン法曲率 $c$ を持つことが示された。
• 全測地的クォータニオンCR部分多様体はQR積である。これは、補題6.3および定理6.2により確認された。
• $\mu = 0$ であるクォータニオンCR部分多様体 $M$ は、全測地的であることとQR積であることの間で強い同値関係にある。